Aufgabe
Welche der folgenden Abbildungen sind Gruppenhomomorphismen? Ihre Aussagen sind zu begründen.
a) \( f_{1}: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f_{1}(z)=z^{3} \)
b) \( f_{2}: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{0\}, f_{2}(z)=2^{z} \)
c) \( f_{3}: \mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z} \rightarrow(\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}) \backslash\left\{[0]_{7}\right\}, f_{3}\left([z]_{6}\right)=\left[3^{z}\right]_{7} \)
d) \( f_{4}: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{0\}, f_{4}(z)=2 \cdot|z| \)
d) \( f_{5}: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{0\}, f_{5}(z)=z^{3} \)
Dabei haben \( \mathbb{Z} \) und \( \mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}=\left\{[0]_{6}, \ldots,[5]_{6}\right\} \) eine additive und \( (\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}) \backslash\{[0]\}=\left\{[1]_{7}, \ldots,[6]_{7}\right\} \) sowie
\( \mathbb{R} \backslash\{0\} \) eine multiplikative Verknüpfung.
Problem/Ansatz
Ich habe die a,b,e schon gemacht aber ich bräuchte einen Ansatz bei der c und d weil ich da nicht weiß was ich machen muss
