Zeigen Sie: re und li sind bijektiv | re ♦ li = li ♦ re ist immer ein Gruppenhomomorphismus

Question

Sei (G, ο) eine Gruppe und sei a ∈ G fest. Seien li und re Abbildungen, für alle g ∈  G sei g^re := g ο a und g^li := a^-1 ο g.

Zeigen Sie:

1) re und li sind bijektiv

2) re ♦ li = li ♦ re, und diese Abbildung ist immer ein Gruppenhomomorphismus.

Answer 1

1) g = x ο a^-1 ⇒ g^re = x für jedes x ∈ G. Also ist re surjektiv .

g^re = g'^re ⇒ g ο a = g' ο a ⇒ g ο a ο a^-1 = g' ο a ο a^-1 ⇒ g = g' für alle g, g' ∈ G. Also ist re injektiv.

Weil re surjektiv und injektiv ist, ist re bijektiv.

Zeige auf die gleiche Weise, dass li bijektiv ist.

2) Zeige dass g^{re ♦ li} = g^{li ♦ re} ist, dass 1^{li ♦ re} = 1 ist, und dass (gοg')^{li ♦ re} = g^{li ♦ re} o g'^{li ♦ re} ist.