Zeigen Sie, dass φ:ℤ→G, a → g^a ein Gruppenhomomorphismus ist.

Question

Aufgabe: Es sei p eine Primzahl und G eine endliche Gruppe mit #G=p. Weiter sei g∈G ungleich 1.

1. Zeigen Sie, dass φ:ℤ→G, a → g^a ein Gruppenhomomorphismus ist.

2. Zeigen Sie, dass <g>=G und folgern Sie, dass φ surjektiv ist.

Problem/Ansatz: Ich habe leider gar keinen Ansatz, kann mir jemand bitte helfen?

Answer 1

Zeigen Sie, dass φ:ℤ→G, a → g^a ein Gruppenhomomorphismus ist.

Es gilt für alle a,b ∈ ℤ  φ(a+b)=φ(a)*φ(b)

( denn g^(a+b) = g^a * g^b wenn * die Verknüpfung in G ist.

Also ist  φ ein Gruppenhomomorphismus von (ℤ,+)

nach (G,*) . g≠1 brauchst du hier noch nicht.

2. Das Bild einer Gruppe bei einem Gruppenhomomorphismus

ist immer eine Untergruppe der Gruppe, in die abgebildet wird.

Wegen #G=p Primzahl und bei einer endlichen Gruppe die

Ordnung jeder Untergruppe ein Teiler Gruppenordnung ist

gilt also # Bild(φ) = 1 oder   # Bild(φ) = p

Und es folgt φ(1) = g^1 = g ≠ 1 , also hat die Untergruppe

mindestens 2 Elemente, somit   # Bild(φ) = p also Bild(φ) = G .

Andererseits gilt Bild(φ) = <g> ; denn in der von g erzeugten

Untergruppe ist jedes Element eine Potenz von g, also von

der Form p^n = φ(n).

Also gilt  <g>=G und wegen   Bild(φ) = G ist φ surjektiv.

Comments

Sehr vielen Dank!!!

Es gibt eine dritte Teilaufgabe, bei der ich auch Probleme habe bzw. ich verstehe nicht, wie mein Ansatz sein muss:

Zeigen Sie, dass Kern(φ)=pℤ und dass

ℤ/pℤ→G, a+pℤ→g^a ein Isomorphismus ist.

Können Sie mir da bitte auch vielleicht helfen, also wie ich die Aufgabe angehen muss?

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Ansatz für  x ∈ Kern(φ)  ist φ(x)=1 .

und überlege was g^p ist .

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Okay, ich bedanke mich !!