Zeige, dass f(x) größergleich 1 für alle x größer 0

Question

Aufgabe:

Sei f : (0,∞) →ℝ gegeben durch

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{1}{x}+\ln x \)

a) man soll zeigen, dass f (x) ≥ für alle

    x >0

Comments

Ist \(f(x)\geq 0\) gemeint?

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Im grünen Titel steht

f(x) größergleich 1

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OK. Dann hätte Fragesteller*in vielleicht mal den
Aufgabentext abändern sollen.

Answer 1

f(x) = 1/x + LN(x)

f'(x) = (x - 1)/x^2

f''(x) = (2 - x)/x^3

Extrempunkte

f'(x) = (x - 1)/x^2 = 0 → x = 1

f''(1) = (2 - 1)/1^3 = 1 → Tiefpunkt

f(1) = 1/1 + LN(1) = 1 → Kleinster Funktionswert ist 1

Skizze

~plot~ 1/x+ln(x);{1|1} ~plot~