Zeige, dass der Betrag der Determinante größer 0 ist

Question

Aufgabe:

Die Transformation in Kugelkoordinaten ist gegeben durch:

T(r, θ, φ) = \( \begin{pmatrix} r×cosθ×cosφ\\r×cosθ×sinφ\\r×sinθ \end{pmatrix} \).

a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix DT und ihre Determinante.
b) Zeigen Sie, dass |det(DT| > 0, falls r > 0 und θ ∈ (-\( \frac{π}{2} \), \( \frac{π}{2} \)).
c) Zeigen Sie, dass die Spalten von DT paarweise orthogonal sind.

Problem/Ansatz:

a) habe ich gelöst und als Ergebnis det(DT) = - r² × cosθ heraus.

Bei b) hänge ich leider, da doch cos(-\( \frac{π}{2} \)) = 0 = cos(\( \frac{π}{2} \)) ist. Wie kann dann der Betrag der Determinante echt-größer 0 sein?

Und bei c): Die Spalten sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt gleich 0 ist. Muss ich dann eben so die drei Spalten vergleichen oder gibt es hierfür spezielle auch noch eine andere Möglichkeit?

Answer 1

Aloha :)

zu a) und b): Die Determinante der Jacobi-Matrix lautet: \(-r^2\cos\Theta\). Für \(\Theta\in(-\frac{\pi}{2}|\frac{\pi}{2})\) ist sie daher negativ. Hier scheint die Aufgabenstellung falsch zu sein. Es sei denn, das sind Betragsstriche um die Determinante herum. Dann geht es wohl darum zu zeigen, dass \(|\text{det}(DT)|\ne0\) ist in dem Intervall \(\Theta\in(-\frac{\pi}{2}|\frac{\pi}{2})\), was ja richtig ist, weil die Ränder nicht dazu gehören.

zu c): Hier würde ich einfach die 3 Multiplikationen (\(S1\cdot S2\;|\;S2\cdot S3\;|\;S1\cdot S3\)) durchführen, und zeigen, dass bei jeder 0 heraukommt.

Comments

Hallo und danke für die schnelle Antwort!
Das sind Betragsstriche, genau.
Stimmt! Ich hatte gar nicht beachtet, dass in der Menge (x, y) die Ränder ausgeschlossen sind.

Answer 2

Hallo,

Bei a) sollte kein Minus herauskommen.
b) die runden Klammern schließen +-pi/2 als Argument aus
c) du brauchst bloß das Skalarprodukt der Spalten miteinander ausführen