Hallo,
zu a)
aus der Bedingung, dass die Spalten einer darstellende Matrix ein Orthonormalsystem
bilden, ergibt sich für diese Matrix die Gestalt$$Q=\left(\begin{array}{cc}a&b\\b&-a\end{array}\right)$$wegen \(\det(Q)=-1\)
Das charakteristische Polynom hat die Form \(X^2-1=(X-1)(X+1)\).
Seien \(v_1,v_2\) Eigenvektoren zu den Eigenwerten \(1\) und \(-1\).
Dann liefert \(Q\) wegen \(Qv_1=v_1, \; Qv_2=-v_2\) eine Spiegelung mit
Spiegelachse \(\mathbb{R}\cdot v_1\).
zu b)
Das charakteristische Polynom hat den ungeraden Grad 3, also mindestens eine
reelle Nullstelle. Bei einer orthogonalen Transformation haben alle Eigenwerte
(auch die komplexen) den Absolutbetrag 1, also ist der reelle Eigenwert \(\rho=\pm 1\).
Die beiden möglicherweise nichtreellen Eigenwerte \(\lambda,\mu\) erfüllen dann
\(\lambda\cdot \mu=1\) und da die Determinante der Drehung =1 sein soll, folgt daraus,
dass der reelle Eigenwert \(\rho=1\) ist. Damit hat die Drehung einen mindestens
eindimensionalen Fixraum (entweder eine Rotationsachse oder der ganze Raum)
und ist damit eine ebene Drehung.
zu c)
betrachte die Drehmatrix$$\left(\begin{array}{cccc}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}\right)$$
Diese besitzt keine reellen Eigenwerte, also keinen echten Fixraum, also
ist ihre Wirkung nicht auf eine Ebene beschränkt.
Gruß ermanus
