Zeigen Sie: Ist z_{0} eine Nullstelle von P , so ist auch \overline{z_{0}} eine Nullstelle von P .

Question

Text erkannt:

(a) Sei \( P(z):=a_{0}+\sum \limits_{j=1}^{n} a_{j} z^{j} \) ein Polynom mit Koeffizienten \( a_{k} \in \mathbb{R} \) für alle \( k \in\{0,1 \ldots, n\} \). Zeigen Sie: Ist \( z_{0} \) eine Nullstelle von \( P \), so ist auch \( \overline{z_{0}} \) eine Nullstelle von \( P \).
(b) Eine Nullstelle des Polynoms \( P(z):=z^{4}-6 z^{3}+16 z^{2}-26 z+15 \) ist gegeben durch \( z_{1}=1+2 i \). Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen von \( P \).

Problem/Ansatz:

Für Aufgabe a) habe ich bereits die Nullstellen z1=1+2i und z2= 1-2i gefunden, heißt es fehlen glaube ich noch zwei weitere und ich komme einfach nicht darauf. Bei der b) hab ich leider überhaupt keine Ahnung. Hat dort vielleicht jemand eine Lösung für mich? Vielen lieben Dank schonmal im Voraus

Answer 1

Zu a):

\(0=\overline{0}=\overline{a_0+\sum_{j=1}^n a_jz_0^j}=\overline{a_0}+\sum_{j=1}^n\overline{a_j}\overline{z_0}^j=\)

\(=a_0+\sum_{j=1}^na_j\overline{z_0}^j=P(\overline{z_0})\),

da \(\overline{x+y}=\overline{x}+\overline{y}\) und \(\overline{x\cdot y}=\overline{x}\cdot \overline{y}\),

sowie \(\overline{a_j}=a_j\) für \(j=0,\cdots,n\), da die \(a_j\) reell sind.

Answer 2

Hallo

zu b) da du 2 Nst hast kannst du durch (z-z1)*(z-z2) dividieren , dann hast du eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.

a) hat man die Nst  zi kann man P als Produkt über z-zi schreiben, hilft dir das?

Gruß lul

Comments

Ja das ist super, vielen Dank!