Beweisen Sie, dass für x1,…,xn,y1,…,ym∈R x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{m} \in \mathbb{R} x1,…,xn,y1,…,ym∈R für alle n∈N n \in \mathbb{N} n∈N gilt:(∑i=1nxi)(∑j=1myj)=∑i=1n∑j=1mxiyj. \left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}\right)\left(\sum \limits_{j=1}^{m} y_{j}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{m} x_{i} y_{j} .(i=1∑nxi)(j=1∑myj)=i=1∑nj=1∑mxiyj.
(∑i=1n+1xi)(∑j=1myj)=(xn+1+∑i=1nxi)(∑j=1myj)=xn+1∑j=1myj+(∑i=1nxi)(∑j=1myj)=∑j=1mxn+1yj+∑i=1n∑j=1mxiyj=∑i=1n+1∑j=1mxiyj\begin{aligned} & \left(\sum\limits _{i=1}^{n+1}x_{i}\right)\left(\sum\limits _{j=1}^{m}y_{j}\right)\\ = & \left(x_{n+1}+\sum\limits _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum\limits _{j=1}^{m}y_{j}\right)\\ = & x_{n+1}\sum\limits _{j=1}^{m}y_{j}+\left(\sum\limits _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum\limits _{j=1}^{m}y_{j}\right)\\ = & \sum\limits _{j=1}^{m}x_{n+1}y_{j}+\sum\limits _{i=1}^{n}\sum\limits _{j=1}^{m}x_{i}y_{j}\\ = & \sum\limits _{i=1}^{n+1}\sum\limits _{j=1}^{m}x_{i}y_{j} \end{aligned}====(i=1∑n+1xi)(j=1∑myj)(xn+1+i=1∑nxi)(j=1∑myj)xn+1j=1∑myj+(i=1∑nxi)(j=1∑myj)j=1∑mxn+1yj+i=1∑nj=1∑mxiyji=1∑n+1j=1∑mxiyj
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