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Beweisen Sie, dass für x1,,xn,y1,,ymR x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{m} \in \mathbb{R} für alle nN n \in \mathbb{N} gilt:
(i=1nxi)(j=1myj)=i=1nj=1mxiyj. \left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}\right)\left(\sum \limits_{j=1}^{m} y_{j}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{m} x_{i} y_{j} .

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(i=1n+1xi)(j=1myj)=(xn+1+i=1nxi)(j=1myj)=xn+1j=1myj+(i=1nxi)(j=1myj)=j=1mxn+1yj+i=1nj=1mxiyj=i=1n+1j=1mxiyj\begin{aligned} & \left(\sum\limits _{i=1}^{n+1}x_{i}\right)\left(\sum\limits _{j=1}^{m}y_{j}\right)\\ = & \left(x_{n+1}+\sum\limits _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum\limits _{j=1}^{m}y_{j}\right)\\ = & x_{n+1}\sum\limits _{j=1}^{m}y_{j}+\left(\sum\limits _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum\limits _{j=1}^{m}y_{j}\right)\\ = & \sum\limits _{j=1}^{m}x_{n+1}y_{j}+\sum\limits _{i=1}^{n}\sum\limits _{j=1}^{m}x_{i}y_{j}\\ = & \sum\limits _{i=1}^{n+1}\sum\limits _{j=1}^{m}x_{i}y_{j} \end{aligned}

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