Beweisen Sie, dass fur ¨ x1, y1, . . . , yn ∈ R fur alle ¨ n ∈ N gilt:

Question

Beweisen Sie, dass für \( x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{m} \in \mathbb{R} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:
\( \left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}\right)\left(\sum \limits_{j=1}^{m} y_{j}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{m} x_{i} y_{j} .\)

Answer 1

\(\begin{aligned} & \left(\sum\limits _{i=1}^{n+1}x_{i}\right)\left(\sum\limits _{j=1}^{m}y_{j}\right)\\ = & \left(x_{n+1}+\sum\limits _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum\limits _{j=1}^{m}y_{j}\right)\\ = & x_{n+1}\sum\limits _{j=1}^{m}y_{j}+\left(\sum\limits _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum\limits _{j=1}^{m}y_{j}\right)\\ = & \sum\limits _{j=1}^{m}x_{n+1}y_{j}+\sum\limits _{i=1}^{n}\sum\limits _{j=1}^{m}x_{i}y_{j}\\ = & \sum\limits _{i=1}^{n+1}\sum\limits _{j=1}^{m}x_{i}y_{j} \end{aligned}\)