zz.: (i) (f − a · idV ) ◦ (f − b · idV ) = 0 <=> (ii) V = Eig(f, a) ⊕ Eig(f, b)

Question

Aufgabe:

Seien a, b ∈ K mit a 6= b und f ∈ EndK(V ). Zeigen Sie die
Aquivalenz der folgenden beiden Aussagen.
(i) (f − a · idV ) ◦ (f − b · idV ) = 0
(ii) V = Eig(f, a) ⊕ Eig(f, b)

Problem/Ansatz:

Ich komme einfach nicht voran

Answer 1

Ich nehme an, dass es am Anfang heißen soll \(a \neq b\). Es gilt:

$$(f-aI)(f-bI)=f\circ f-bf-af+abI=(f-bI)(f-aI)$$

Es gelte (i). Dann gilt folgende Darstellung für alle \(x \in V\):

$$x=\frac{1}{b-a}(f-aI)x- \frac{1}{b-a}(f-bI)x \\ \text{  mit }0=(f-bI)(f-aI)x \Rightarrow (f-aI) \in Eig(f,b)\\\text{  und }0=(f-aI)(f-bI)x \Rightarrow (f-bI) \in Eig(f,a)$$.

Es gelte (ii). Dann hat jedes \(x \in V\) eine Darstellung entsprechend der Summe:

$$x=x_a+x_b \Rightarrow (f-aI)(f-bI)x=(f-aI)(fx_a-bx_a)\\ \quad =(f-aI)(ax_a-bx_a)=0$$