Zeigen Sie, dass h ◦ h = h genau dann gilt, wenn V = ker(h − idV ) + ker(h)

Question

Aufgabe:

a) Sei V ein Vektorraum und sei h : V → V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass h ◦ h = h genau
dann gilt, wenn V = ker(h − id_V ) + ker(h).

b) Fur welche n ∈ N gibt es eine lineare Abbildung h : Kⁿ → Kⁿ mit ker(h) = im(h)?

Problem/Ansatz:

Zu a) ich weiss nicht konkret wie ich das beweisen soll, da ich mir unsicher bin wie ich mir den ker(h - id_V) vorstellen kann.

b) ist nur 0 und 1. Ich stelle mir das immer grafisch mit hilf des coim und coker vor. Dann kann ker nur gleich im sein wenn es maximal eine dim(V) = 1 hat. Weil ja nur so der kern genau auf das bild abgebildet werden kann. Ich hoffe man versteht was ich ausdruecken moechte.

Answer 1

Zeigen Sie, dass h ◦ h = h genau dann gilt, wenn V = ker(h − idV ) + ker(h).

Sei h : V → V eine lineare Abbildung mit h°h=h und sei v∈V.

==>  h( v-h(v)) = h(v) - h(h(v)) = h(v) - h(v) = 0

==>    v-h(v) ∈ ker(h).

Und es gilt v = h(v) +  (   v-h(v))

Der 2. Summand ist aus ker(h) und der erste aus ker(h − idV ),

denn  (h-id(V) )(h(v)) = h(h(v)) - id(V)(h(v))

                                 = h(v)  - h(v) = 0

Comments

Und stimmt das was ich zu b) gesagt habe da bin ihc mir nicht ganz sicher?