Konvergenz und Divergenz in Abhängigkeit von Parameter

Question

ich habe eine wichtige Frage zu Reihen. Bei der Aufgabe geht es darum, zu bestimmen, für welche Werte von alpha Divergenz bzw. Konvergenz vorliegt. Ich weiß, dass man Fallunterscheidung machen soll, jedoch weiß ich nicht genau, wie ich die Aufgabe angehen soll. Die Aufgabe befindet sich im Anhang.

Es wär hilfreich, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen könnte.

(Reihenkonvergenz).  Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Reihen \( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln (n))^{\alpha}} \) mit \( \alpha\geq 0 \)

Answer 1

Integralkriterium:

$$\int_e^{\infty}\frac 1{x\ln^a x}dx \stackrel{x=e^u}{=} \int_1^{\infty}\frac 1{u^a}du $$ Damit erhalten wir

Konvergenz für \(a>1\).

Divergenz für \(a \leq 1\).

Andere Variante - Cauchy Verdichtungssatz:

$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^n}{2^n\ln^a 2^n}= \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^a \ln^a 2}$$ Wiederum erhalten wir

Konvergenz für \(a>1\).
Divergenz für \(a \leq 1\).

Comments

Vielen Dank für die Erklärung!