Lim gegen unendlich für cosinus

Question

Aufgabe:

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) -cos(x)+1

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung was der Grenzwert einer periodischen Funktion ist.

Answer 1

Es gibt keinen.

Der cos springt zw. -1 und 1

Hier ist er um 1 nach oben verschoben.

Comments

Und was ist dann die Lösung für die Aufgabe?

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Es existiert kein Grenzwert.

Answer 2

Aloha :)

Wenn die Funktion \(\pink{f(x)=1-\cos(x)}\) für \(x\to\infty\) einen Grenzwert hat, müssen alle möglichen Wege zu diesem einen Grenzwert führen.

Wir betrachten zwei verschiedene Wege:

$$\text{1)}\quad x_n=2n\pi\implies f(x_n)=1-\cos(2\pi n)=1-1=0$$$$\text{2)}\quad x_n=(2n-1)\pi\implies f(x_n)=1-\cos(2\pi n-\pi)=1-(-1)=2$$

Auf dem ersten Weg kommen wir für \(n\to\infty\) zum Funktionswert \(0\).

Auf dem zweiten Weg kommen wir für \(n\to\infty\) zum Funktionswert \(2\).

Es gibt also nicht den einen Funktionswert, zu dem alle möglichen Wege führen.

Daher konvergiert die Funktion \(f(x)\) nicht, der Grenzwert ist nicht definiert.

Comments

Ich hatte die Aufgabe \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) sin(x) dx und dann habe ich das versucht aufzuteilen in \( \lim\limits_{a\to\infty} \) \( \int\limits_{0}^{a} \) sin(x) dx + \( \lim\limits_{b\to-\infty} \) \( \int\limits_{b}^{0} \) sin(x) dx und durch integrieren etc bin ich dann auf die gestellte Frage gekommen. Hätte ich das anders machen müssen?