Kann man das auch mit dem Gauss-Algorithmus beweisen?

Question

Aufgabe:

Weiss jemand wie man beweist, das \( A^{-1} A=A A^{-1}=E \) gilt, wobei A^-1 die Inverse der Matrix A ist und E die Einheitsmatrix. Kann man das auch mit dem Gauss Algorithmus beweisen?

Comments

Geht es vielleicht darum, ob man mit Hilfe des
Gauss-Verfahrens beweisen kann, dass \(A^{-1}\)
mit den geforderten Eigenschaften existiert?

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Ja, auch. Aber eigentlich auch wie man die Definition beweist, mit und ohne Gauss.

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Wie soll man eine Definition beweisen?
Oder meinst du die Tatsache, dass Linksinverses=
Rechtsinverses ist?

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Ja, genau das.

Answer 1

Es genügt zu zeigen, dass (1) \(\left(M^{-1}\right)^{-1}\) für alle \(M\) existiert, die ein linksinverses \(M^{-1}\) haben, und dass (2) in diesem Fall \(\left(M^{-1}\right)^{-1} = M\) ist.

Dann folgt aus der Existenz des linksinversen \(A^{-1}\) von \(A\), dass

        \(\left(A^{-1}\right)^{-1}\cdot A^{-1} = A\cdot A^{-1} = E \)

ist und somit \(A^{-1}\) auch rechtsinverses von \(A\) ist.

Die Bahauptungen (1) und (2) gelten, weil man \(M^{-1}\) mittels elementarer Zeilenumformungen bestimmen kann und jede elementare Zeilenumformung rückgängig gemacht werden kann.

Answer 2

Sollt ihr das Beweisen? So ist doch die Inverse Matrix definiert. Wie war die genaue Definition bei euch. Oder welche Definitionen dürft ihr benutzen.

Comments

Ja, wir sollen es beweisen.

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Welche Definitionen dürft ihr denn benutzen?

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Die obige Definition

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Hier eine Herleitung von http://geometrie.zum.de/wiki/Gruppendefinition_(kurz)#Linksinvers_gleich_Rechtsinvers

Wenn du Fragen dazu hast, kann ich die gerne Beantworten.

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Der Satz "Auch b hat ein Linksinverses" sollte begründet werden.