Gauß-Jordan-Algorithmus(vermutlich) Probleme bei Umformung einer quadratischen alg. Matrix

Question

Sei A eine quadratische und invertierbare nxn-Matrix, sowie E eine nxn-Einheitsmatrix.

Z.z.: Durch die Umformung von (A| E) zu (E|B) gilt: B=A^{-1}

Ich habe Probleme bei der Umformung, die mithilfe des Gauß-Algorithmus durchgeführt werden soll. Wie soll ich das zu (E|B) umformen? Wäre nett, wenn mir jemand helfen kann :) Ich komme aktuell zu keinem Ergebnis.

  $$(A| E)= \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}  \\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}  \\\vdots    & \dots    & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{nn} \end{pmatrix}|\begin{pmatrix} 1    & 0    & \dots     & 0      \\0    & 1     & \dots  & 0       \\\vdots    & 0     & \ddots & \vdots \\0     & \dots & 0     & 1\end{pmatrix}  $$

Läuft alles in dem Bereich der reellen Zahlen ab...

Answer 1

Beschränkung der Schreibarbeit auf R⁴

\(\small A=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{array}\right)\)

Die Faktoren für die Gaußelimination werden gebildet aus der 1.Spalte dividiert durch das Diagonalelement der jeweiligen (Rest)Matrix:
Im 1.Schritt {{a11,a21,a31,a41}}/a11, dieser Vektor bildet mit geänderten Vorzeichen unter dem Diagonalelement die 1. Spalte der Gaußeliminationsmatrix L_i

\(\small \Longrightarrow L_1= \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\\frac{-a_{21}}{a_{11}}&1&0&0\\\frac{-a_{31}}{a_{11}}&0&1&0\\\frac{-a_{41}}{a_{11}}&0&0&1\\\end{array}\right)  \Longrightarrow L_1\cdot A=  \, \left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&c_{22}&c_{23}&c_{24}\\0&c_{32}&c_{33}&c_{34}\\0&c_{42}&c_{43}&c_{44}\\\end{array}\right) \Longrightarrow\; \)

Weiter mit Matrix (c_ij)