Fehlerfortpflanzung nach Gauß

Question

Hallo ich bin gerade am Lernen und habe leider Probleme bei dieser Aufgabe. Leider stehen auch im Buch keine Lösungen, sodass ich das Ganze nachvollziehen könnte. Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar!

Die Größen A und B seien mit den Unsicherheiten ∆A bzw. ∆B behaftet. Der relative Fehler ist definiert als ∆A/A bzw. ∆B/B. Betrachten Sie nun die zusammengesetzte Größe R = A ^α· B^β

Zeige mit Hilfe der Fehlerfortpflanzung nach Gauß, dass der relative Fehler der zusammengesetzten Größe gegeben ist durch

∆R/R =  \( \sqrt{(α * ∆A/A)^{2} + (β*∆B/B)^{2}  } \)

b. Es sei ∆A/A=∆B/B=1%.Wie groß ist der relative Fehler von R=A·B in % ?Wie groß ist der relative Fehler von R = A=B in %?

Answer 1

Ich denke wir reden hier über stochastische Größen und Du möchtest die Größe $$  \frac{ \sigma_R^2 } { R^2 } $$ berechnen.

Allgemein gilt für eine reellwertige Funktion \( y : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) das die Varianz sich wie folgt berechnet

$$  \sigma_y^2 = ( \nabla y(\mu) )^T  V   \nabla y(\mu) $$ wobei \( V \) die Kovarianzmatrix von \( \vec{x} \) ist und \( \mu \) der Erwartungswert von \( \vec{x} \) ist.

Mit der Funktion \( R(A,B) = A^\alpha \cdot B^\beta \) folgt

$$ \nabla R =     \begin{pmatrix} \alpha A^{\alpha-1} B^\beta \\ \beta A^\alpha B^{\beta-1} \end{pmatrix} $$ Wenn die \( \vec{x} = \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}\) unkorreliert sind gilt $$ V =  \begin{pmatrix} \sigma_A^2 & 0 \\ 0 & \sigma_B^2 \end{pmatrix}  $$ und damit

$$  \sigma_R^2 =  \begin{pmatrix} \alpha A^{\alpha-1} B^\beta & \beta A^\alpha B^{\beta-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_A^2 & 0 \\ 0 & \sigma_B^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha A^{\alpha-1} B^\beta \\ \beta A^\alpha B^{\beta-1} \end{pmatrix} $$ Also

$$  \sigma_R^2 = \left( \alpha A^{\alpha-1} B^\beta \sigma_A \right)^2 + \left( \beta A^\alpha B^{\beta-1} \sigma_B^2 \right)^2 $$ und deshalb

$$  \frac{ \sigma_R^2 } { R^2 } =  \left( \alpha \cdot \frac{\sigma_A^2}{A} \right)^2 + \left( \beta \cdot \frac{\sigma_B^2}{B} \right)^2 $$