Gauß-Algorithmus, Abhängigkeit Inverse der Matrix

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus und in Abhängigkeit von a die Inverse der Matrix. Geben Sie dabei auch explizit an, für welche Werte von a die Matrix B invertierbar bzw. nicht invertierbar ist.

\( B=\left(\begin{array}{ccc}{3} & {2 a} & {4} \\ {0} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {-3}\end{array}\right), \quad a \in \mathbb{R} \)

Answer 1

DET([3, 2·a, 4; 0, 0, 1; 0, 4, -3]) = -12

Damit gibt es für jedes a eine Inverse. Die Inverse kannst du auch leicht über die Adjunkte berechnen.

Die Inverse lautet dann zur Kontrolle:

B^{-1} = [1/3, - (3·a + 8)/6, - a/6; 0, 3/4, 1/4; 0, 1, 0]

Explizite Formeln
Für \( (2 \times 2) \) -Matrizen ergibt sich damit die explizite Formel
$$ \left(\begin{array}{cc} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A} \cdot\left(\begin{array}{cc} {d} & {-b} \\ {-c} & {a} \end{array}\right)=\frac{1}{a d-b c} \cdot\left(\begin{array}{cc} {d} & {-b} \\ {-c} & {a} \end{array}\right) $$
Für \( (3 \times 3) \) -Matrizen ergibt sich entsprechend die Formel
$$ \left(\begin{array}{ccc} {a} & {b} & {c} \\ {d} & {e} & {f} \\ {g} & {h} & {i} \end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A} \cdot\left(\begin{array}{ccc} {e i-f h} & {c h-b i} & {b f-c e} \\ {f g-d i} & {a i-c g} & {c d-a f} \\ {d h-e g} & {b g-a h} & {a e-b d} \end{array}\right) $$

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix

Comments

Danke für die Antwort :D

Woran erkenne ich jetzt noch für welche Werte von a die Matrix B invertierbar bzw. nicht invertierbar sind?

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Die Determinante dürfte nie Null sein. Das siehst du auch weil man ja durch Null nicht teilen darf und dann die Formel über die Adjunkte auch nicht funktioniert.

Beim Invertieren über das Gauss-Verfahren dürfte halt auch bei den Brüchen unter einem Bruchstrich nie Null heraus kommen.

Answer 2

Wandle die Matrix

        \(\begin{pmatrix} 3&2a&4&1&0&0\\0&0&1&0&1&0\\0&4&-3&0&0&1 \end{pmatrix}\)

mittels elementarer Zeilenumformungen so um, dass die ersten drei Spalten die Einheitsmatrix bilden. Die letzten drei Spalten bilden dann die Inverse von \(B\).