Beweis - Inverse Matrix m.H. des Gauß-Jordan-Alg. bestimmen Inverse Matrix m.H. des Gauß-Jordan-Alg. bestimmen

Question

mich würde die Herleitung von folgender Aussage interesssieren:

" Man muss an einer Einheitsmatrix die gleichen Operationen vornehmen, die die Matrix A zur Einheitsmatrix machen, und die Einheitsmatrix wird zur Inversen von A."

Der Ablauf ist mir klar, dennoch kann ich mir nicht erklären, wieso die Einheitsmatrix zur Inversen von A wird. 

Konnte leider keine ( für mich verständliche) Herleitung durch googlen finden - auch mein Lehrer sagte, dass es so ist und fertig.

Vielleicht habt ihr da die einleuchtende Erklärung :-)

Answer 1

Gegeben sei eine Matrix $A$.

Die Matrix $A' = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot A$ kann man aus $A$ erzeugen indem man die zweite Zeile von $A$ zur dritten addiert.

Die Matrix $A'' = \begin{pmatrix}3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot A$ kann man aus $A$ erzeugen indem man die erste Zeile von $A$ mit drei multipliziert.

So lassen sich alle elementaren Zeilenumformungen, die man während des Gauß-Jordan-Algorithmus auf der Matrix $A$ durchführt, durch Multiplikation mit geeigneten Matrizen (sogenannten Frobeniusmatrizen) beschreiben.

Wird die Matrix $A$ also zum Beispiel durch 3 Zeilenumformungen in die Matrix $B$ überführt, dann gibt es Frobeniusmatrizen $F_1, F_2, F_3$, so dass $F_3 \cdot(F_2 \cdot(F_1\cdot A)) = B$ ist. Wegen des Assoziativgesetzes der Matrixmultiplikation ist dann auch $(F_3 \cdot F_2 \cdot F_1) \cdot A = B$. Die Matrix $F = (F_3 \cdot F_2 \cdot F_1)$ führt sozusagen alle 3 Zeilenumformungen in einem Rutsch aus.

Bei dem von dir beschriebenen Verfahren wird die Matrix $A$ durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix überführt. Wie gerade erläutert, kann das durch eine Matrixmultiplikation $F\cdot A$ ausgedrückt werden. Führt man die gleichen Zeilenumformungen auf der Einheitsmatrix $E$ aus, so bekommt man $F\cdot E$.

Nun gilt:

• $F\cdot A = E$, weil $A$ durch $F$ in die Einheitsmatrix überführt wurde. Also ist $F = A^{-1}$.
• Das Ergebnis der Anwendung von $F$ auf die Einheitsmatrix $E$ ist $F\cdot E = F$, weil die Einheitsmatrix bei Multplikation neutral ist.

Zusammengefasst: $A$ wird durch $F$ in die Einheitsmatrix überführt, $E$ wird durch $F$ nach $F$ überführt und $F = A^{-1}$.