Wie berechne ich die Inverse dieser Matrix mit dem Gauss-Jordan-Verfahren?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Inverse der folgenden Matrix \( A \) mit dem Gauß-Jordan-Verfahren:
\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
{1} & {1} & {2} \\
{2} & {1} & {1} \\
{-1} & {1} & {3}
\end{array}\right)
\]

Ich habe Probleme die Inverse zu dieser Matrix zu finden. Das Verfahren mit den Einheitsvektor ist mir geläufig, jedoch sind die Umformungsschritte problematisch für mich. Könnte mir jemand eine Schritt für Schritt Hilfestellung geben? Bzw. mir die Inverse verraten damit ich sie mit meiner Vergleichen kann?

Answer 1

Comments

Prinzipiell top aber die Aufgabe war:

Berechnen Sie die Inverse der folgenden Matrix A mit dem Gauß-Jordan-Verfahren:

---

Aber der Hinweis auf Erklärungen im Netz ist damit gegeben.

Answer 2

Aloha :)

Beim Gauß-Jordan-Verfahren zur Matrix-Inversion schreibt man die Matrix \(A\) und die Einheitsmatrix \(E\) direkt nebeneinander. Dann führt man mit elementaren Zeilenumformungen die linke Matrix in die Einheitsmatrix über und führt die dazu nötigen Schritte auch bei der rechten Matrix durch. Am Ende des Verfahrens steht dann links die Einheitsmatrix und rechts die invertierte Matrix.

$$\begin{array}{r}I: & 1 & 1 & 2 &|& 1 & 0 & 0&\\II: & 2 & 1 & 1 &|& 0 & 1 & 0&-2\cdot I\\I: & -1 & 1 & 3 &|& 0 & 0 & 1&+I\end{array}$$$$\begin{array}{r}I: & 1 & 1 & 2 &|& 1 & 0 & 0&+II\\II: & 0 & -1 & -3 &|& -2 & 1 & 0&\\I: & 0 & 2 & 5 &|& 1 & 0 & 1&+2\cdot II\end{array}$$$$\begin{array}{r}I: & 1 & 0 & -1 &|& -1 & 1 & 0&\\II: & 0 & -1 & -3 &|& -2 & 1 & 0&\cdot(-1)\\I: & 0 & 0 & -1 &|& -3 & 2 & 1&\cdot(-1)\end{array}$$$$\begin{array}{r}I: & 1 & 0 & -1 &|& -1 & 1 & 0&+III\\II: & 0 & 1 & 3 &|& 2 & -1 & 0&-3\cdot III\\I: & 0 & 0 & 1 &|& 3 & -2 & -1&\end{array}$$$$\begin{array}{r}I: & 1 & 0 & 0 &|& 2 & -1 & -1&\\II: & 0 & 1 & 0 &|& -7 & 5 & 3&\\I: & 0 & 0 & 1 &|& 3 & -2 & -1&\end{array}$$

Answer 3

Inverse zur Kontrolle

[1, 1, 2; 2, 1, 1; -1, 1, 3]^(-1) = [2, -1, -1; -7, 5, 3; 3, -2, -1]

Comments

Inverse mit dem Gauß-Jordan-Verfahren

[1, 1, 2, 1, 0, 0]
[2, 1, 1, 0, 1, 0]
[-1, 1, 3, 0, 0, 1]

II - 2*I ; III + I

[1, 1, 2, 1, 0, 0]
[0, -1, -3, -2, 1, 0]
[0, 2, 5, 1, 0, 1]

III + 2*II

[1, 1, 2, 1, 0, 0]
[0, -1, -3, -2, 1, 0]
[0, 0, -1, -3, 2, 1]

-II, -III

[1, 1, 2, 1, 0, 0]
[0, 1, 3, 2, -1, 0]
[0, 0, 1, 3, -2, -1]

I - 2*III ; II - 3*III

[1, 1, 0, -5, 4, 2]
[0, 1, 0, -7, 5, 3]
[0, 0, 1, 3, -2, -1]

I - II

[1, 0, 0, 2, -1, -1]
[0, 1, 0, -7, 5, 3]
[0, 0, 1, 3, -2, -1]

Fertig

Answer 4

Studiere mal das Gauss-Jordan-Verfahren. Du sollst gemäss Aufgabenstellung damit arbeiten.

Bzw. mir die Inverse verraten damit ich sie mit meiner Vergleichen kann?

Du kannst das selbst kontrollieren. Multipliziere dein Resultat mit der gegebenen Matrix. Da muss die Einheitsmatrix herauskommen.