0 Daumen
389 Aufrufe

Aufgabe:

Stammfunktion von 1/x


Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht was die richtige Stanmfunktion ist, mein Ergebnis wäre 1/0 x0 aber das stimmt nicht

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Die Stammfunktion zu 1x\frac1x ist der natürlich Logarithmus:1xdx=ln(x)+const;x>0\int\frac1x\,dx=\ln(x)+\text{const}\quad;\quad x>0Beachte die Betragszeichen um das Argument.


Das kannst du dir klar machen, indem du die ln(x)\ln(x)-Funktion ableitest.

Für x>0x>0 lautet die Ableitung:y=ln(x)    x=ey    dxdy=ey    dydx=1ey=1eln(x)=1xy=\ln(x)\implies x=e^y\implies\frac{dx}{dy}=e^y\implies \frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{e^{\ln(x)}}=\frac1x


Wegen der Symmetrie von 1x\frac1x kann man das Integral auch auf x0x\ne0 erweitern:1xdx=lnx+const;x<0  ˙  x>0\int\frac1x\,dx=\ln|x|+\text{const}\quad;\quad x<0\;\dot\lor\;x>0

Avatar von 152 k 🚀
0 Daumen

Das ist ein Grundintegral, bei dem die Potenzregel nicht greift.

f(x) = 1/x -> F(x) = ln(x)+C

Auswendig lernen oder nachschlagen!

Herleitung:


Avatar von 39 k
f(x) = 1/x -> F(x) = ln(x)+C

ohne Beschränkung des Definitionsbereichs ist

F(x) = ln( |x| )  eine Stammfunktion

enthält der Definitionsbereich negative Werte, sind für x<0 und x >0  zwei verschiedene Integrationskonstanten möglich.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage