Was ist die Stammfunktion von 1/x?

Question

Aufgabe:

Stammfunktion von 1/x

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht was die richtige Stanmfunktion ist, mein Ergebnis wäre 1/0 x^0 aber das stimmt nicht

Answer 1

Aloha :)

Die Stammfunktion zu \(\frac1x\) ist der natürlich Logarithmus:$$\int\frac1x\,dx=\ln(x)+\text{const}\quad;\quad x>0$$Beachte die Betragszeichen um das Argument.

Das kannst du dir klar machen, indem du die \(\ln(x)\)-Funktion ableitest.

Für \(x>0\) lautet die Ableitung:$$y=\ln(x)\implies x=e^y\implies\frac{dx}{dy}=e^y\implies \frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{e^{\ln(x)}}=\frac1x$$

Wegen der Symmetrie von \(\frac1x\) kann man das Integral auch auf \(x\ne0\) erweitern:$$\int\frac1x\,dx=\ln|x|+\text{const}\quad;\quad x<0\;\dot\lor\;x>0$$

Answer 2

Das ist ein Grundintegral, bei dem die Potenzregel nicht greift.

f(x) = 1/x -> F(x) = ln(x)+C

Auswendig lernen oder nachschlagen!

Herleitung:

Comments

f(x) = 1/x -> F(x) = ln(x)+C

ohne Beschränkung des Definitionsbereichs ist

F(x) = ln( |x| )  eine Stammfunktion

enthält der Definitionsbereich negative Werte, sind für x<0 und x >0  zwei verschiedene Integrationskonstanten möglich.