Sei X ein Vektorraum und sei d von einer Norm ||*|| auf V induziert. Zeigen sie, dass

Question

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Aufgabe $1 \quad$ (5 Punkte)
Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum, $a \in X$ und $r>0$. Wir schreiben
$B_{r}(a)=\{x \in X: d(x, a)<r\} \quad \text { und } \quad K_{r}(a)=\{x \in X: d(x, a) \leq r\} .$
(a) (3 Punkte) Sei $X$ ein Vektorraum und sei $d$ von einer Norm $\|\cdot\|$ auf $V$ induziert. Zeigen Sie, dass
$\overline{B_{r}(a)}=K_{r}(a) \quad \text { und } \quad \operatorname{Int}\left(K_{r}(a)\right)=B_{r}(a)$
(b) (2 Punkte) Gelten die Aussagen von Teil (a) in beliebigen metrischen Räumen? Beweis oder Gegenbeispiel.