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Aufgabe \( 1 \quad \) (5 Punkte)
Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum, \( a \in X \) und \( r>0 \). Wir schreiben
\( B_{r}(a)=\{x \in X: d(x, a)<r\} \quad \text { und } \quad K_{r}(a)=\{x \in X: d(x, a) \leq r\} . \)
(a) (3 Punkte) Sei \( X \) ein Vektorraum und sei \( d \) von einer Norm \( \|\cdot\| \) auf \( V \) induziert. Zeigen Sie, dass
\( \overline{B_{r}(a)}=K_{r}(a) \quad \text { und } \quad \operatorname{Int}\left(K_{r}(a)\right)=B_{r}(a) \)
(b) (2 Punkte) Gelten die Aussagen von Teil (a) in beliebigen metrischen Räumen? Beweis oder Gegenbeispiel.
