Die \(C_1\)-Norm ist wie folgt für mindestens einmal stetig differenzierbare Funktionen definiert:
\(||f||_{C_1} = ||f||_{\infty} + ||f'||_{\infty}\), wobei das Supremum hier über dem betrachteten Intervall \([0,1]\) zu nehmen ist.
Der Operator \(T\) is linear. Somit ist er stetig genau dann, wenn er beschränkt ist. Das heißt, wenn es eine Konstante \(K\) gibt, so das für alle \(f \in C^2[0,1]\) gilt
\(||Tf||_{C_1}\leq K||f||_{C_1}\).
Betrachte nun für \(n \geq 2\) die Funktionen
\(f_n(x) = \frac 1n\sin(nx)\)
\(f_n^{'}(x) = \cos(nx)\)
\(f_n^{''}(x) = -n \sin(nx)\)
\(||Tf_n||_{C_1} =||f_n^{'}||_{\infty} + ||f_n^{''}||_{\infty}= 1+n\)
\(||f_n||_{C_1} =||f_n||_{\infty} + ||f_n^{'}||_{\infty}= \frac 1n+1\)
\(1+n \leq K \left(\frac 1n + 1\right) \Leftrightarrow \boxed{K\geq n}\)
Das heißt, es gibt für den Operator \(T\) keine solche Konstante \(K\). Damit ist \(T\) nicht stetig.
