Die Aufgabe ist eigentlich recht simpel, wenn man den richtigen Ansatz nimmt:
Beh: ||G|| = 4
Bew: ||G|| = sup{||Ax||1 | x ∈ ℝ^8; ||x||2<1}
Das Supremum kann man finden, indem man eine maximierende Folge (xn)n definiert, sodass lim ||Ax_n||1 = ||G|| gilt mit ||xn||2<1.
Speziell wählt man hier am besten die Folge xn = (\(\frac{1}{8} - \frac{1}{n}, ... , \frac{1}{8} - \frac{1}{n})\). Die Folge ist maximierend,da wir in die "Ecke" des 8-dimensionalen Einheitswürfels bzgl der ||.||1 Norm konvergieren. Nach den Konvergenzregeln im ℝ8 kann man sehen, dass xn → (\(\frac{1}{8} , ... , \frac{1}{8})\) gilt. Gleichzeitig ist
\( ||x_n||_2 < ||x_n||_2 = \sqrt{\frac{1}{8}^2 +...+\frac{1}{8}^2}= \sqrt{\frac{1}{64} +...+\frac{1}{64}} = \sqrt{\frac{8}{64}} < 1 \)
Also folgt für die Operatornorm:
||G|| = ||Ax||1 = 4*||x||1 = \(4\cdot (\frac{1}{8} + ... + \frac{1}{8} ) = \frac{4\cdot 8}{8} = 4\)
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