Operatornorm, Neumannsche Reihe

Question

Gegeben sei der Vektorraum \( X=\mathbb{C}^{2 \times 2} \) der komplexwertigen \( 2 \times 2 \)-Matrizen, versehen mit der Operatornorm \( \|\cdot\|_{\mathrm{op}} \), d.h. für alle \( A \in X \) sei \( \|A\|=\|A\|_{\mathrm{op}} \), wobei \( \|A\|_{\mathrm{op}}:=\sup _{x \in \mathbb{C}^{2} \backslash\{0\}} \frac{\|A x\|_{2}}{\|x\|_{2}} \) mit der euklidschen Norm \( \|\cdot\|_{2} \) in \( \mathbb{C}^{2} \).

Sei \( \Phi \in \mathcal{B}(X) \) gegeben durch \( X \ni A \mapsto \Phi(A):=\frac{1}{2}\left(A-A^{T}\right) \).
(a) Bestimmen Sie \( \|\Phi\|_{\mathrm{op}} \)
(b) Zeigen Sie (z.B. mit Hilfe der Neumannschen Reihe), dass \( \left(\mathbf{1}_{X}-\alpha \Phi\right) \) für alle \( \alpha \in \mathbb{C} \) mit \( |\alpha|<1 \) auf \( X \) invertierbar ist und berechnen Sie \( \left(\mathbf{1}_{X}-\alpha \Phi\right)^{-1} \) damit explizit.
(c) Bestimmen Sie alle \( \alpha \in \mathbb{C} \) mit \( |\alpha|=1 \) für die der Operator \( \left(\mathbf{1}_{X}-\alpha \Phi\right) \) invertierbar ist. (Darüber trifft die Neumannsche Reihenentwicklung in diesem Fall keine Aussage.)

Problem/Ansatz:

Ich komme einfach nicht auf den Beweis mit der Neumannschen Reihe. Könnte mir da jemand weiterhelfen?

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Was ist denn B(X) ?

Answer 1

Hallo,

ich versuche mal ein paar Stichpunkte:

Zu a):

$$\|\Phi(A)\|=0.5\|A-A^T\|\leq 0.5(\|A\|+\|A^T\|) = 0.5 (\|A\|+\|A\|)=\|A\|$$

Also ist (Operatornorm) \(\|\Phi\| \leq 1\). Wenn man eine Matrix mit nur einem Nicht-Null-Element betrachtet, sieht man, dass hier Gleichheit gilt.

Zu b): Für \(|a|<1\) gilt nach dem Satz über die Neumann-Reihe

$$(I-a\Phi)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty} a^n \Phi^n$$

Ob Ihr jetzt noch etwas damit machen sollt ("explzit"??), weiß ich nicht.

Zu c) Es geht um die Aufgabe: Gegeben B, gesucht A, so dass

$$B=(I-a \Phi)(A)=A-0.5a(A-A^T)$$

Wenn Du jetzt für B und A jeweils Matrizen mit 4 Komponenten ansetzt, kannst Du das entstehende Gleichungssystem leicht lösen - es sieht nur auf den ersten Blick abschreckend aus. Du stellst fest, dass man bei |a|=1 nut a=1 ausschließen muss.

Gruß Mathhilf

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vielen dank. Das hat mir schon sehr geholfen.