Seien (X, ||•||x) und (Y, ||•||y ) normierte Räume und T : X→Y eine lineare Abbildung.
Zu zeigen ist:
(i) T ist stetig ⇔ ||T|| := sup{||T(x)||y : x∈X, ||x||x ≤ 1} < ∞
(ii) ||T(x)||y ≤ ||T|| ||x||x für alle x∈X
||T|| ist dabei die Operatornorm von T.
(iii) Sei dim (X) <∞ und T : X→Y linear und stetig. Zu zeigen ist: Es existiert ein x* ∈X mit ||x*||x = 1, sodass ||T||=||T(x*)||y .
Ich habe leider gar keinen Plan.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
