Sollte man hier anders vorgehen?

Question

Aufgabe:

hätte bei folgendem Integral eine Frage

\( \int\limits_{0}^{a} \) \( \sqrt{a² - x²} \) dx = \( \int\limits_{0}^{a} \) \( \frac{a²-x²}{\sqrt{a² - x²}} \) dx

Aus Linearität folgt:

\( \int\limits_{0}^{a} \) \( \frac{a²}{\sqrt{a² - x²}} \) - \( \int\limits_{0}^{a} \) \( \frac{x²}{\sqrt{a²-x²}} \)

Für das 1. Integral habe ich den Term so umgeformt um als gelöstes Integral eine arcsin- Funktion zu erhalten:

\( \int\limits_{0}^{a} \) \( \frac{a²}{\sqrt{a² - x²}} \) = \( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{a²}{a*\sqrt{1 - \frac{(x)}{(a)}²}} \)

Jetzt Substitution :

y = x/a => dy = \( \frac{1}{a} \) * dx

a² * \( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{1}{\sqrt{1 - y²}} \) = a² * arcsiny + C

-> Resub a² * arcsin (x/a) + C

Nun bleibt das 2. Integral, bei dem ich leider Probleme habe mit der bisherigen Vorgehensweise es auf die passende Form zu bringen damit als gelöstes Integral arcsin - Funktion herauskommt.

\( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{x²}{\sqrt{a²- x²}} \)

Sollte man hier anders vorgehen?

Würde mich freuen wenn mir jemand beim 2. Integral einen Tipp geben könnte

LG

Comments

mit Lösungsweg:

https://www.integralrechner.de/

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Ahso. Wo ist der Fehler da genau?

Answer 1

Aloha :)

Du hast das erste Integral korrekt bestimmt: \(\int\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx=a^2\,\arcsin\frac xa+C\)

Allerdings hast du dir mit der gewählten Aufteilung des Integrals in 2 Teilintegrale keinen Gefallen getan, denn das Integral mit \(x^2\) im Zähler ist mindestens genauso aufwändig zu bestimmen, wie das mit \(a^2\) im Zähler.

Ich würde die Aufteilung sein lassen und direkt substituieren:

$$F=\int\limits_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,dx=a\int\limits_0^a\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\,dx$$

Substituiere:\(\quad\sin u=\frac xa\implies x=a\sin u\implies dx=a\cos u\,du\)

mit den neuen Grenzen:\(\quad u(0)=\arcsin\frac0a=0\;;\;u(a)=\arcsin\frac aa=\frac\pi2\)

$$F=a\int\limits_0^{\frac\pi2}\sqrt{1-\sin^2u}\cdot \underbrace{a\cos u\,du}_{=dx}=a^2\int\limits_0^{\frac\pi2}\cos^2u\,du=a^2\int\limits_0^{\frac\pi2}\left(\frac12+\frac12\cos(2u)\right)du$$$$\phantom F=a^2\left[\frac u2+\frac14\sin(2u)\right]_0^{\frac\pi2}=\frac\pi4\,a^2$$

Answer 2

Das Integral aufzusplitten, kann manchmal ein hilfreicher Trick sein.

Bei deinem Integral ist das Aufsplitten nicht notwendig. Aber bei schwierigeren Integralen kann das extrem nützlich sein. Drum rechne ich das für deinen Fall kurz vor:

Das zweite Integral kannst du per partielle Integration so umformen, dass das gesamte Integral wie von Zauberhand vom Himmel fällt.

Ich lass die Integrationsgrenzen weg, da es hier nur darum geht, eine Stammfunktion zu finden.

Bisher hast du

$$I =\int \sqrt{a^2-x^2}\; dx = a^2 \arcsin \frac xa - \underbrace{\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\, dx}_{=I_1} \quad (1)$$

Jetzt partiell integrieren:

$$I_1 = -\int \underbrace{x}_{u} \underbrace{\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}}_{v'}\, dx= -x\sqrt{a^2-x^2} + \int \sqrt{a^2-x^2}\, dx \quad (2)$$

Jetzt setzt du (2) in (1) ein und erhältst

$$I = a^2 \arcsin \frac xa -\left(-x\sqrt{a^2-x^2}  + I\right)$$

Jetzt bringst du das rechte \(I\) aud die linke Seite und teilst durch 2. Voilá:

$$I = \frac 12\left(a^2 \arcsin \frac xa + x\sqrt{a^2-x^2}\right) (+C)$$

Einsetzen der Integrationsgrenzen ergibt jetzt

$$\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\, dx = \frac 12\cdot a^2\cdot \frac{\pi}2 = \frac{\pi}4 a^2 $$