Bestimmen sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad vier mit zur y-Achse symmetrischen Graphen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad vier mit zur y-Achse symmetrischen Graphen. Ein Wendepunkt ist W(1/0). Die beiden Wendetangenten schneiden sich senkrecht.

Problem/Ansatz:

Bis zum Wendepunkt hab ich es verstanden. Aber den letzten Schritt versteh ich leider nicht ganz. Könnte mir den vielleicht jemand erklären?

Answer 1

Bestimmen sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad vier mit zur y-Achse symmetrischen Graphen. Ein Wendepunkt ist W(1|0). Die beiden Wendetangenten schneiden sich senkrecht.

Ein Wendepunkt ist \(W_1(1|0) \)  Wegen der Symmetrie gilt auch \(W_2(-1|0) \)

Allgemein 4.Grad: \(f(x)=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e\)

hier: \(f(x)=a*x^4+c*x^2+e\)

\(W_1(1|0) \)

\(f(1)=a+c+e\)

1.)    \(a+c+e=0\)

\(W_1(1|...) \)

\(f´(x)=4a*x^3+2c*x\)

\(f´´(x)=12a*x^2+2c\)

\(f´´(1)=12a+2c\)

2.)    \(12a+2c=0\)    →   \(c=-6a\)

Die beiden Wendetangenten schneiden sich senkrecht:

\(f´(1)=4a+2c\)   →  \(f´(1)=4a+2*(-6a)\)  →  \(f´(1)=-8a\) 

\(f´(-1)=4a*(-1)^3+2c*(-1)=-4a-2*(-6a)=-4a+12a=8a\)

Orthogonal: \(m_2*m_1=-1\)

\(-8a*8a=-1\)  → \(64a^2=1\)   → \(a_1=\frac{1}{8}\)   \(a_2=-\frac{1}{8}\)

Mit   \(a_1=\frac{1}{8}\) weiter:  \(c=-6*\frac{1}{8}\)  → \(c=-\frac{3}{4}\) 

1.)    \(a+c+e=0\)  →   \(\frac{1}{8}-\frac{3}{4}+e=0\)  →  \(e=\frac{5}{8}\)

\(f(x)=\frac{1}{8}*x^4-\frac{3}{4}*x^2+\frac{5}{8}\)

Du musst nun noch die weitere Funktion mit \(a_2=-\frac{1}{8}\) bestimmen.

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Dankeschön:) Sie haben mir echt weitergeholfen!

Answer 2

f(x) = ax^4+bx^2+c

f(1) =0

f''(1) = 0

senkrecht schneiden heißt: m1*m2= -1

m1, m2 = Steigung der Wendetangenten im WP

Tangentengleichung:

t(x) = (x-1)*f'(1) + f(1)

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Vielen Dank Ihnen!

Answer 3

Die beiden Wendetangenten schneiden sich senkrecht.

Das bedeutet ja, dass das Produkt der Ableitungen an den beiden Wendestellen \(-1\) ergeben muss. Dies ergibt die Bedingung $$f'(-1)\cdot f'(+1)=-1.$$ Die beiden anderen Bedingungen, die benötigt werden, sind dir ja bekannt.

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Vielen Dank Ihnen!