Beweise zur symmetrischen Gruppe auf Z. G = S(Z). Mit g(i):= i + 1 für alle i Element Z. Zeige g Element G.

Question

die Ideen der Aussagen ist mir bekannt aber ich weiß nicht wie ich dies zeigen soll. Könnte mir jemand helfen?

Danke

Answer 1

Das wird wohl so definiert sein:

Die Gruppe G ist die Menge aller Bijektionen von ℤ nach ℤ.

Also musst du nur zeigen, dass g eine solche ist.

Injektiv:   Seinen x,y aus ℤ mit   g(x) = g(y)

==>                     x+1 = y+1

==>                         x = y        also g Injektiv

surjektiv;   Sei   x aus ℤ , dann auch  x-1 aus ℤ und

g(x-1) = x , also gibt es ein Element in ℤ, dessen Bild x ist.

b) ganz ordentlich wohl mit Induktion:

für j = 1 stimmt es

und wenn es für ein j stimmt, und i beliebig aus ℤ, dann ist

g ^j+1 (i)  = g ( g ^j (i) ) = g ( i+j )    (nach Ind. vor )

=  ( i+j) + 1     (nach Def. von g

= i + (j+1)   wegen der Assoziativität von +

q.e.d.

Und wäre n aus ℕ_>0 mit  g ⁿ = id   Dann wäre ja z.B.   

g ⁿ (1) = id (1)

wegen der soeben bewiesenen Gleichung also

1+n =  1

     n = 0 im Widerspr. zu   n>0 .