Hallo :-)
Die Definition zu einem Banachraum sagt es dir ja, was du im Prinzip zeigen musst:
1.) Zeige, dass die zu betrachtende Struktur einen normierten Vektorraum beschreibt, also dass deine Grundmenge ein Vektorraum ist und deine gegebene Abbildung eine Norm ist.
2. ) Nimm eine Cauchyfolge und zeige, dass sie in diesem normierten Vektorraum konvergent ist.
Ein Beispiel ist die Menge \(\R^d\) zusammen mit der Abbildung $$\|.\|_1:\R^d\to \R, (x_1,...,x_d)\mapsto \sum\limits_{k=1}^d |x_k|.$$
Zu 1.) Die Menge \(\R^d\) beschreibt nach der üblichen Komponentenweisen Addition und skalaren Multiplikation einen Vektorraum (nachrechnen der Vektorraumaxiome) und die Abbildung \(\|.\|_1\) ist eine Norm auf \(\R^d\), denn:
1.1) Positiv definit: \(\|(0,...,0)\|_1=\sum\limits_{k=1}^d |0|=0\). Sei nun \((x_1,...,x_d)\in \R^d\) beliebig mit \(\|(x_1,...,x_d)\|_1=0\). Wegen \(|x_k|\geq 0\) für alle \(k=1,...,d\) folgt nach Voraussetzung auch \(x_k=0\) für alle \(k=1,...,d\). Damit ist \((x_1,...,x_d)=(0,...,0)\). Außerdem folgt für alle \((x_1,...,x_d)\in \R^d\) stets \(\|(x_1,...,x_d)\|_1=\sum\limits_{k=1}^d \underbrace{|x_k|}_{\geq 0}\geq \underbrace{0+...+0}_{\text{d mal}}=0\).
1.2) Homogen: Für alle \(c\in \R\) und alle \((x_1,...,x_d)\in \R^d\) ist mit der Homogenität von \(|.|\)$$ \|c\cdot (x_1,...,x_d)\|_1=\|(c\cdot x_1,...,c\cdot x_d)\|_1=\sum\limits_{k=1}^d |c\cdot x_k|=\sum\limits_{k=1}^d |c| \cdot |x_k|=|c|\cdot \left( \sum\limits_{k=1}^d |x_k| \right)=|c|\cdot \|(x_1,...,x_d)\|_1$$
1.3.) Dreiecksungleichung: Für alle \((x_1,...,x_d),(y_1,...,y_d)\in \R^d\) ist mit der Dreiecksungleichung von \(|.|\)
$$ \|(x_1,...,x_d)+(y_1,...,y_d)\|_1=\|(x_1+y_1,...,x_d+y_d)\|_1=\sum\limits_{k=1}^d \underbrace{|x_k+y_k|}_{\leq |x_k|+|y_k|}\leq \sum\limits_{k=1}^d (|x_k|+|y_k|)\\=\left( \sum\limits_{k=1}^d |x_k| \right)+\left (\sum\limits_{k=1}^d |y_k| \right) =\|(x_1,...,x_d)\|_1+\|(y_1,...,y_d)\|_1$$
Also ist das Paar \((\R^d,\|.\|_1)\) ein normierter Vektorraum.
Zu 2.) Sei \((v_k)_{k\in \N}\subseteq R^d\) mit \(v_k:=(v_k^{(1)},...,v_k^{(d)})\) eine beliebige Cauchyfolge in \(\R^d\). Dann gilt: $$\forall \varepsilon>0\ \exists N_{\varepsilon}\in \N \forall n,m\in \N, m\geq n: \|v_n-v_m\|_1<\varepsilon.$$
Insbesondere gilt dfür jede \(j\)-te Komponente (\(j=1,...,d\))$$\varepsilon>\|v_m-v_n\|_1=\|(v_m^{(1)}-v_n^{(1)},...,v_m^{(d)}-v_n^{(d)})\|_1=\sum\limits_{l=1}^d |v_m^{(l)}-v_n^{(l)}|\geq |v_m^{(j)}-v_n^{(j)}|.$$
Also ist jede \(j\)-te Komponente \((v_k^{(j)})_{k\in \N}\subseteq \R\) auch eine Cauchy-Folge. Da \(\R\) selbst vollständig bzgl. \(|.|\) ist, so ist auch die Cauchy-Folge \((v_k^{(j)})_{k\in \N}\subseteq \R\) eine konvergente Folge. Nach der komponentenweisen Konvergenz folgt demnach auch die Konvergenz der Cauchyfolge \((v_k)_{k\in \N}\subseteq \R^d\). Da \((v_k)_{k\in \N}\subseteq \R^d\) eine beliebige Cauchy-Folge ist, so ist \((\R^d,\|.\|_1)\) als normierter Vektorraum (also auch metrischer Raum) ein vollständiger und damit ein Banachraum.
