Gegeben seien die endlichen Mengen \( A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \) mit \( n>1 \). Zeigen Sie dass die folgende Ungleichung gilt:
\( \sum \limits_{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|-\sum \limits_{\substack{i, j=1 \\ i<j}}^{n}\left|A_{i} \cap A_{j}\right| \leq\left|\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right| . \)
Ich vermute mal, man kann dort mit der Vollständigen Induktion arbeiten, bin mir aber nicht sicher, wie ich das ausführe.
1:
Sei n = 2
|A1| + |A2| - |A1 ∩ A2| ≤ |A1 ∪ A2|
2:
n=k
einfach die Formel aus der Fragestellung von oben übernommen nur n durch k ersetzen
3:
n=k+1
Wieder Formel von oben nur mit + |Ak+1| und + \( \sum\limits_{i=1}^{\infty}{k+1} |Ai∩Ak+1|\) auf der linken Seite und auf der rechten ∪|Ak+1|.
Kp ob bis dahin richtig, aber wie würde es dann weiter gehen?