Hallo,
Was ist der Rechenweg hierfür?
Stelle zunächst die Transformation von neu nach alt auf, so wie beschrieben:$${}^{\text{alt}}T_{\text{neu}} = \begin{pmatrix} 5&2&-1\\ 1&10&-1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$$Gesucht ist die Inverse davon, also \({}^{\text{neu}}T_{\text{alt}}\). Dazu muss man die Matrix invertieren. Bei diesen Matrizen reicht es aus, den rotatorischen Anteil zu invertieren:$${}^{\text{neu}}R_{\text{alt}}=\left({}^{\text{alt}}R_{\text{neu}}\right)^{-1} = \begin{pmatrix} 5&2\\ 1&10 \end{pmatrix} ^{-1} = \frac{1}{48}\begin{pmatrix} 10 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$$Invertieren von 2x2-Matrizen geht mit: Vertausche auf der Hauptdiagonalen, negiere die Nebendiagonale und dividiere durch die Determinante.
Und dann damit den negativen Positionsanteil multiplizieren:$${}^{\text{neu}}p_{\text{alt}} = -{}^{\text{neu}}R_{\text{alt}}\cdot \begin{pmatrix}-1 \\-1 \end{pmatrix} = -\frac{1}{48}\begin{pmatrix} 10 & -2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1 \\-1 \end{pmatrix} = \frac{1}{48}\begin{pmatrix} 8\\ 4\end{pmatrix}$$Zusammenbauen gibt dann die gesuchte Matrix$${}^{\text{neu}}T_{\text{alt}} =\begin{pmatrix} {}^{\text{neu}}R_{\text{alt}}& {}^{\text{neu}}p_{\text{alt}}\\ \begin{array}{c} 0& 0 \end{array}& 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{48}\begin{pmatrix} 10 & -2 & 8\\ -1 & 5& 4 \\ 0& 0& 48\end{pmatrix}$$Gruß Werner
