Aloha :)
$$I_{m,n}(x)=\int \underbrace{e^{mx}}_{=u'}\cdot\underbrace{\cos(nx)}_{=v}\,dx=\underbrace{\frac1me^{mx}}_{=u}\cdot\underbrace{\cos(nx)}_{=v}-\int \underbrace{\frac1me^{mx}}_{=u}\cdot\underbrace{(-n\sin(nx))}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{I_{m,n}(x)}=\frac1me^{mx}\cdot\cos(nx)+\frac nm\int \underbrace{e^{mx}}_{=f'}\cdot\underbrace{\sin(nx)}_{=g}\,dx$$$$\phantom{I_{m,n}(x)}=\frac1me^{mx}\cdot\cos(nx)+\frac nm\left(\underbrace{\frac1me^{mx}}_{=f}\cdot\underbrace{\sin(nx)}_{=g}-\int \underbrace{\frac1me^{mx}}_{=f}\cdot\underbrace{n\cos(nx)}_{=g'}\,dx\right)$$$$\phantom{I_{m,n}(x)}=\frac1me^{mx}\cdot\cos(nx)+\frac{n}{m^2}e^{mx}\cdot\sin(nx)-\frac{n^2}{m^2}\underbrace{\int e^{mx}\cdot\cos(nx)\,dx}_{=I_{m,n}(x)}$$
Wir bringen das verbliebene Integral auf die linke Seite und formen weiter um:
$$\left(1+\frac{n^2}{m^2}\right)\,I_{m,n}(x)=\frac1me^{mx}\cdot\cos(nx)+\frac{n}{m^2}e^{mx}\cdot\sin(nx)\quad\bigg|\cdot m^2$$$$\left(m^2+n^2\right)\,I_{m,n}(x)=me^{mx}\cdot\cos(nx)+ne^{mx}\cdot\sin(nx)\quad\bigg|\div(m^2+n^2)$$$$I_{m,n}(x)=\frac{e^{mx}}{m^2+n^2}\left(m\cos(nx)+n\sin(nx)\right)$$Die Integrationskonstante habe ich weggelassen.
