Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir führen zuerst die Partialbruchzerlegung durch:$$f(x)=\frac{7x-1}{2x^2-2x-12}=\frac{7x-1}{2(x-3)(x+2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}$$
Multipliziere (im Kopf) beide Seiten mit \(\pink{(x-3)}\) und setze danach \(x=3\) ein:$$\frac{7x-1}{2\cdot\cancel{(x-3)}\cdot(x+2)}=\frac{A}{\cancel{x-3}}+\frac{B}{x+2}\cdot\pink{(x-3)}\stackrel{(x=3)}{\implies}A=\frac{7\cdot3-1}{2(3+2)}=\frac{20}{10}=2$$
Multipliziere (im Kopf) beide Seiten mit \(\green{(x+2)}\) und setze danach \(x=-2\) ein:$$\frac{7x-1}{2\cdot(x-3)\cdot\cancel{(x+2)}}=\frac{A}{x-3}\cdot\green{(x+2)}+\frac{B}{\cancel{x+2}}\stackrel{(x=-2)}{\implies}B=\frac{7\cdot(-2)-1}{2(-2-3)}=\frac{-15}{-10}=\frac32$$
Die Zerlegung lautet also:$$f(x)=\frac{7x-1}{2x^2-2x-12}=\frac{2}{x-3}+\frac{\frac32}{x+2}$$
Die Stammfunktionen kannst du nun sofort hinschreiben:$$F(x)=2\ln|x-3|+\frac32\ln|x+2|+\text{const}$$
