Verwenden Sie das Quetschlemma und Grenzwertsätze

Question

Aufgabe:

(a)Verwenden Sie das Quetschlemma und Grenzwertsätze, um für die Folge (xn) mit

$\frac{1-n^{2} \sin (n+3)}{6 n^{3}+8}$

den Grenzwert zu berechnen.

(b)

Verwenden Sie geeignete Konvergenzkriterien, um die folgenden zwei Reihen auf Konvergenz
zu untersuchen

(1) $\sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k}{k^2+1}$

(2) $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k}{5}\left(\frac{3}{k}+4\right)^{-k}$

Problem/Ansatz:

(a)

$a_{n}= \frac{1-n^{2}}{6 n^{3}+8} \leq x_{n} \leq b_{n}=-\frac{1-n^{2}}{6 n^{3}+8}$

$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1-n^{2} }{6 n^{3}+8} = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}(\frac{1}n^{2}-1) }{n^{3}(6 +\frac1{n^{3}})} = -\frac{1}{6}$

$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} -\frac{1-n^{2} }{6 n^{3}+8} = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} -\frac{n^{2}(\frac{1}n^{2}-1) }{n^{3}(6 +\frac1{n^{3}})} = \frac{1}{6}$

(b)

(1) $\sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k}{k^2+1}$

$\sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k}{k^2+1} {=c_{k}}$

$\sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k}{k^{2}+1}$ = $\sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{1} \frac{1}{1^{2}+1}$ = $\sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1) \frac{1}{2}$ = $- \frac{1}{2}$

Die Folge ${c_{k}}$ ist keine Nullfolge, also ist die Reihe konvergent.


(2) $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k}{5}\left(\frac{3}{k}+4\right)^{-k}$

Hier habe ich keine Idee wie ich das lösen sollte.

Allgemien würde ich gerne wissen, ob ich irgendwo Fehler gemacht habe un dihr mir helfen könntet: Vielen Dank

Answer 1

Hallo

zu a)  wie du da quetschst verstehe ich nicht aber die GW mit 1/6 sind sicher falsch, n²/n³ ->0 für n->00

zu b) Warum du der Summe den Namen c_k gibst ist unklar die Summe hängt doch nicht von k ab da sie bis oo geht?

vielleicht meinst du c_k=k/(k²+1) diese  ck bilden eine monotone Nullfolge die wegen (-1)^k  alterniert, als konvergiert die Summe nach Leibniz

wie du k durch 1 ersetzt ist schlimme falsch, und wenn die Summe am Ende sinnvoll wäre, wäre sie nicht -1/2!

auch der Satz "Die Folge ${c_{k}}$ ist keine Nullfolge, also ist die Reihe konvergent." ist  sinnlos, egal was ck

c) verkleinere den Nenner indem du 3/k weglässt, dann zeige dass die Reihe mit dem vergrößerten Summanden konvergiert. ( Majorantenkriterioum)

Gruß lul