Aufgabe:
(a)Verwenden Sie das Quetschlemma und Grenzwertsätze, um für die Folge (xn) mit
\( \frac{1-n^{2} \sin (n+3)}{6 n^{3}+8} \)
den Grenzwert zu berechnen.
(b)
Verwenden Sie geeignete Konvergenzkriterien, um die folgenden zwei Reihen auf Konvergenz
zu untersuchen
(1) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k}{k^2+1} \)
(2) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k}{5}\left(\frac{3}{k}+4\right)^{-k} \)
Problem/Ansatz:
(a)
\( a_{n}= \frac{1-n^{2}}{6 n^{3}+8} \leq x_{n} \leq b_{n}=-\frac{1-n^{2}}{6 n^{3}+8} \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1-n^{2} }{6 n^{3}+8} = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}(\frac{1}n^{2}-1) }{n^{3}(6 +\frac1{n^{3}})} = -\frac{1}{6} \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} -\frac{1-n^{2} }{6 n^{3}+8} = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} -\frac{n^{2}(\frac{1}n^{2}-1) }{n^{3}(6 +\frac1{n^{3}})} = \frac{1}{6} \)
(b)
(1) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k}{k^2+1} \)
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k}{k^2+1} {=c_{k}} \)
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{k}{k^{2}+1} \) = \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{1} \frac{1}{1^{2}+1} \) = \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1) \frac{1}{2} \) = \( - \frac{1}{2} \)
Die Folge \( {c_{k}} \) ist keine Nullfolge, also ist die Reihe konvergent.
(2) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k}{5}\left(\frac{3}{k}+4\right)^{-k} \)
Hier habe ich keine Idee wie ich das lösen sollte.
Allgemien würde ich gerne wissen, ob ich irgendwo Fehler gemacht habe un dihr mir helfen könntet: Vielen Dank
