Grenzwertsätze im R^n beweisen

Question

Ich soll folgende Sätze beweisen, kann mir wer helfen bitte?

a)  Ist lim n →∞ a_n = a, so gilt lim n →∞ || a_n || = || a || .

b)  Ist lim n →∞a_n = a und lim n →∞b_n = b, so gilt lim n →∞(a_n + b_n ) = a + b.

c)  Ist lim n →∞a_n = a , so gilt lim n →∞(αa_n ) = αa    für alle α ∈ R.

Comments

Welche Norm sollt ihr benutzen?

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Die 1 Norm. Inwiefern macht das einen Unterschied?

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Das kannst du brauchen, wenn du mit epsilon und delta arbeitest in deinen Beweisen.

Answer 1

Die Beweise sind absolut trivial, wennn man die Vorlesung gehoert hat und weiss:

\(a_n\to a\) bzgl. \(\lVert\cdot\rVert\) bedeutet, dass \(\lVert a_n-a\rVert\) eine Nullfolge im gewoehnlichen Sinne (d.h. wie in Analysis I für Folgen in \(\mathbb{R}\) gelernt) ist.

Z.B. folgt b) aus der Dreiecksungleichung, $$\lVert a_n+b_n-(a+b)\rVert\le\lVert a_n-a\rVert+\lVert b_n-b\rVert.$$ Hier stehen rechts zwei Nullfolgen, also links auch eine.

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Hab die Vorlesung nicht hören können, sonst würde ich hier nicht nachfragen, wie du schon richtig bemerkt hast ^^. Danke trotzdem