Grenzwertsätze im Rn beweisen

Question

Ich soll folgende Sätze beweisen, kann mir wer helfen bitte?

a)  Ist lim n →∞ a_n = a, so gilt lim n →∞ || a_n || = || a || .

b)  Ist lim n →∞a_n = a und lim n →∞b_n = b, so gilt lim n →∞(a_n + b_n ) = a + b.

c)  Ist lim n →∞a_n = a , so gilt lim n →∞(αa_n ) = αa    für alle α ∈ R.

Comments

Welche Norm sollt ihr benutzen?

---

Die 1 Norm. Inwiefern macht das einen Unterschied?

---

Das kannst du brauchen, wenn du mit epsilon und delta arbeitest in deinen Beweisen.

Answer 1

Die Beweise sind absolut trivial, wennn man die Vorlesung gehoert hat und weiss:

$a_n\to a$ bzgl. $\lVert\cdot\rVert$ bedeutet, dass $\lVert a_n-a\rVert$ eine Nullfolge im gewoehnlichen Sinne (d.h. wie in Analysis I für Folgen in $\mathbb{R}$ gelernt) ist.

Z.B. folgt b) aus der Dreiecksungleichung, $$\lVert a_n+b_n-(a+b)\rVert\le\lVert a_n-a\rVert+\lVert b_n-b\rVert.$$ Hier stehen rechts zwei Nullfolgen, also links auch eine.

Comments

Hab die Vorlesung nicht hören können, sonst würde ich hier nicht nachfragen, wie du schon richtig bemerkt hast ^^. Danke trotzdem