Beweis dass Menge offen ist (mithilfe der Abgeschlossenheit des Komplements)

Question

Aufgabe:

Hallo, ich bin gerade beim Lernen für eine Analysis 2 Klausur und verstehe nicht ganz ob mein Ansatz richtig ist. Wäre um Hilfe froh!

Also es geht um abgeschlossene und offene Mengen.

Ich soll zeigen, dass die Menge

$$M=\left\{(x, y)\in \mathbb{R^2}|x<y\right\} $$  offen ist.

Ich soll dies über die Abgeschlossenheit des Komplements machen.

Problem/Ansatz:

$$M^C=\left\{(x, y)\in \mathbb{R^2}|x\geq y\right\}$$

Ich habe nun den Satz zur Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen verwendet, damit kann ich sagen, dass alle konvergenten Folgen in meiner Menge M^C einen Grenzwert dort haben.

Wenn ich nun eine konvergente Teilfolge wähle, die genau einen Randpunkt von M^C als Grenzwert hat, kann ich sagen dass der Grenzwert in meiner Menge M^C liegt und somit die Menge abgeschlossen sein muss.

Da M^C abgeschlossen ist M offen.

Ist mein Ansatz richtig oder wie muss ich vorgehen?

Comments

Unnötig eine Konvergent Teilfolge zu wählen. Nimm einfach eine allgemeine Folge xn, die in der Menge liegt mit Grenzwert x und Begründe, dass X auch in der Menge liegt, indem du zeigst, dass die Ungleichung gilt.

Answer 1

Sei \((x_n,y_n) \in M^c\) mit \(\lim_{n\to\infty} (x_n,y_n) = (x,y)\).

Zu zeigen ist nun, dass \((x,y)\in M^c\).

Da \(\lim_{n\to\infty} (x_n,y_n) = (x,y)\), gilt insbesondere

\(\lim_{n\to\infty} x_n = x\) und \(\lim_{n\to\infty} y_n = y\).

Außerdem ist \((x_n,y_n) \in M^c\), also \(x_n \geq y_n\) für alle \(n \in\mathbb N\).

Aufgrund der Ordnungseigenschaften des Limes haben wir somit auch

\(\lim_{n\to\infty} x_n = x \geq y = \lim_{n\to\infty} y_n \).

Damit ist auch \((x,y)\in M^c\). Fertig.