Hallo,
Willkommen in der Mathelounge!
Wie wurde hier unten genau gerechnet?
Die Funktion war gegeben:$$f(x)=-x^{3}+x^{2}+8x-12$$und das ist ihre Ableitung$$f'(x)=-3x^2+2x+8$$Nun war nach den Stellen gefragt wo ...
... an denen die Tangente an den Funktionen eine Steigung von -8 besitzen.
Wenn die Tangente dort die Steigung \(-8\) besitzt, dann gilt das auch für die Funktion selber, d.h. dort muss \(f'(x)=-8\) gelten. Das setzt man in die Ableitung ein und berechnet das \(x\)$$\begin{aligned}-3x^2+2x+8&= -8 &&|\,-8\\-3x^2+2x&= -16&& |\,\div(-3) \\ x^2 -\frac{2}{3}x &= \frac{16}{3} &&| \, -\frac{2}{3} = 2a, \quad +a^2 = + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \\ x^2 -\frac{2}{3}x + \left(-\frac{1}{3}\right)^2&= \frac{16}{3} + \left(-\frac{1}{3}\right)^2\\ \left(x-\frac{1}{3}\right)^2 &= \frac{16}{3} + \frac{1}{9}\\\left(x-\frac{1}{3}\right)^2 &= \frac{48}{9} + \frac{1}{9}\\ \left(x-\frac{1}{3}\right)^2 &= \frac{49}{9} &&|\,\sqrt{}\\ x_{1,2} -\frac{1}{3} &= \pm \sqrt{\frac{49}{9}} = \pm \frac{7}{3} &&|\,+\frac{1}{3}\\ x_{1,2} &= \frac{1}{3} \pm \frac{7}{3}\end{aligned}$$Das was dort in Zeile 3 passiert, nennt man "quadratische Ergänzung". Man sorgt dafür, dass links in der Gleichung der Ausdruck \((x+a)^2 = x^2+2ax+a^2\) steht, so dass im Anschluß die Wurzel gezogen werden kann.
Es gibt also zwei Stellen \(x_1\) und \(x_2\) an denen die Funktion die Steigung \(-8\) hat:$$x_1 = \frac{1}{3} + \frac{7}{3} = \frac{8}{3} \\ f\left(\frac{8}{3}\right) = -\frac{68}{27} \\ x_2 = \frac{1}{3} - \frac{7}{3} = -\frac{6}{3} = -2 \\ f(-2)= -16$$so sieht das graphisch aus:
Anschließend sollte man die Funktionsgleichung der Tangente ermitteln.
Jetzt wurde die Funktionsgleichung für die Tangente durch \((x_2,\,f(x_2)) = (-2,\,-16)\) ermittelt. Ausgangsgleichung ist die Steigung in eben diesem Punkt. Das Verhältnis der Differenz zweier Y-Werte zu der Differenz der zugehörigen X-Werte ist die Steigung. Das \(y\) ist das \(y\) der Tangente:$$\begin{aligned}\frac{y-f(x_2)}{x-x_2} &= f'(x_2) \\ \frac{y-(-16)}{x-(-2)} &= -8\\ \frac{y+16}{x+2} &= -8 && |\,\cdot (x+2)\\ y+16 &= -8(x+2) \\ y+16&= -8x-16 &&|\,-16\\ y&= -8x - 32\end{aligned}$$dies ist die Gleichung der linken Tangente (grün) im Bild oben.
