Wie wurde hier unten genau gerechnet?

Question

Problem/Ansatz:

Hey. Man sollte von einer gegebenen Funktion die Punkte der Gleichung bestimmen, an denen die Tangente an den Funktionen eine Steigung von -8 besitzen. Anschließend sollte man die Funktionsgleichung der Tangente ermitteln.

Die gegebene Funktion lautet: -x³+x²+8x-12
Wie wurde hier unten genau gerechnet? Verstehe das nicht mehr so ganz

Text erkannt:

$\begin{array}{l} f(x)=-x^{3}+x^{2}+8 x-12 \\ f^{\prime}(x)=-3 x^{2}+2 x+8 \\ -3 x^{2}+2 x+8=-8 \\ -3 x^{2}+2 x=-16 \\ x^{2}-\frac{2}{3} x=\frac{16}{3} \\ \left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{48}{9}+\frac{1}{9}=\frac{49}{9} \mid \sqrt{ } \end{array}$
1.)
$\begin{array}{l} x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} \\ x_{1}=\frac{8}{3} \quad f\left(x_{1}\right)=\ldots . \end{array}$
2.)
$\begin{array}{l} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3} \\ x_{2}=-2 \quad f(-2)=-(-2)^{3}+(-2)^{2}+ \\ 8 *(-2)-12=-16 \end{array}$
Tangente bei 2.)
$\begin{array}{l} \frac{y-(-16)}{x-(-2)}=-8 \\ \frac{y+16}{x+2}=-8 \\ y=-8 x-32 \end{array}$

Comments

Welche der Zeilen möchtest du denn gerne erklärt haben?

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Wie wurde hier unten genau gerechnet?

Die Funktion war gegeben:$$f(x)=-x^{3}+x^{2}+8x-12$$und das ist ihre Ableitung$$f'(x)=-3x^2+2x+8$$Nun war nach den Stellen gefragt wo ...

... an denen die Tangente an den Funktionen eine Steigung von -8 besitzen.

Wenn die Tangente dort die Steigung $-8$ besitzt, dann gilt das auch für die Funktion selber, d.h. dort muss $f'(x)=-8$ gelten. Das setzt man in die Ableitung ein und berechnet das $x$$$\begin{aligned}-3x^2+2x+8&= -8 &&|\,-8\\-3x^2+2x&= -16&& |\,\div(-3) \\ x^2 -\frac{2}{3}x &= \frac{16}{3} &&| \, -\frac{2}{3} = 2a, \quad +a^2 = + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \\ x^2 -\frac{2}{3}x + \left(-\frac{1}{3}\right)^2&= \frac{16}{3} + \left(-\frac{1}{3}\right)^2\\ \left(x-\frac{1}{3}\right)^2 &= \frac{16}{3} + \frac{1}{9}\\\left(x-\frac{1}{3}\right)^2 &= \frac{48}{9} + \frac{1}{9}\\ \left(x-\frac{1}{3}\right)^2 &= \frac{49}{9} &&|\,\sqrt{}\\ x_{1,2} -\frac{1}{3} &= \pm \sqrt{\frac{49}{9}} = \pm \frac{7}{3} &&|\,+\frac{1}{3}\\ x_{1,2} &= \frac{1}{3} \pm \frac{7}{3}\end{aligned}$$Das was dort in Zeile 3 passiert, nennt man "quadratische Ergänzung". Man sorgt dafür, dass links in der Gleichung der Ausdruck $(x+a)^2 = x^2+2ax+a^2$ steht, so dass im Anschluß die Wurzel gezogen werden kann.

Es gibt also zwei Stellen $x_1$ und $x_2$ an denen die Funktion die Steigung $-8$ hat:$$x_1 = \frac{1}{3} + \frac{7}{3} = \frac{8}{3} \\ f\left(\frac{8}{3}\right) = -\frac{68}{27} \\ x_2 = \frac{1}{3} - \frac{7}{3} = -\frac{6}{3} = -2 \\ f(-2)= -16$$so sieht das graphisch aus:

Anschließend sollte man die Funktionsgleichung der Tangente ermitteln.

Jetzt wurde die Funktionsgleichung für die Tangente durch $(x_2,\,f(x_2)) = (-2,\,-16)$ ermittelt. Ausgangsgleichung ist die Steigung in eben diesem Punkt. Das Verhältnis der Differenz zweier Y-Werte zu der Differenz der zugehörigen X-Werte ist die Steigung. Das $y$ ist das $y$ der Tangente:$$\begin{aligned}\frac{y-f(x_2)}{x-x_2} &= f'(x_2) \\ \frac{y-(-16)}{x-(-2)} &= -8\\ \frac{y+16}{x+2} &= -8 && |\,\cdot (x+2)\\ y+16 &= -8(x+2) \\ y+16&= -8x-16 &&|\,-16\\ y&= -8x - 32\end{aligned}$$dies ist die Gleichung der linken Tangente (grün) im Bild oben.

Comments

Toll, Werner!

Du bist ein sehr guter Didaktiker und Pädagoge, wie mir immer wieder auffällt.

Und ein netter Mensch.

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Ich schließe mich der Vorrede von ggT22 an.

Answer 2

Hallo

Wahrscheinlich verwendest du um quadratische Gleichungen zu lösen immer die sog. pq Formel?

die wurde mal hergeleitet mit quadratischer Ergänzung wenn du x²-2/3x =....

hast kannst du so ergänzen dass di linke Seite zum Quadrat wird

also x²-2/3x  +(1/3)² =....+(1/3)²

jetzt steht links die binomische Formel für (x-1/3)²

jetzt wieder klar?

Gruß lul

Answer 3

Alternativ mit dieser Tangentengleichung:

t(x) = (x-x0)*(-8) +f(x0)

x0 = Stelle der Tangenten mit der Steigung m= -8.

Hier: x0= 8/3 bzw. -2

Du kannst auch die abc-Formel verwenden um x1/2 zu ermitteln.

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/abc-formel.html