Die Ungleichung gilt für alle \(n\in \mathbb N\).
Wir wissen, \(e<3\) und \(e^n = \sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!}\).
\( \frac{n^{n}}{3^{n}} \leq n! \Leftrightarrow \frac{n^{n}}{n!} \leq 3^{n}\)
Nun gilt
\(\frac{n^{n}}{n!} \leq \sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!} = e^n \leq 3^n\)
Fertig.
Nachtrag - Induktion:
\(n=1\) klar.
\(n\rightarrow n+1\):
\(\frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{n^{n}}{3^{n}}\cdot (n+1) \frac 13 \left(1+\frac 1n\right)^n \)
\(\stackrel{\text{Induktionsvorausssetzung}}{\leq} (n+1)!\cdot \frac 13 \left(1+\frac 1n\right)^n \)
Es genügt also zu zeigen, dass \(\left(1+\frac 1n\right)^n < 3\).
\(\left(1+\frac 1n\right)^n = 1+1 +\sum_{k=2}^n \underbrace{\binom nk \frac 1{n^k}}_{\stackrel{\leq \frac 1{k!}}{\text{Hausaufgabe}} } < 2+ \sum_{k=2}^{\infty} \frac 1{2^k} = 3\)
Nochmal fertig.
