Euklidischer Algorithmus für komplexe Zahlen

Question

Aufgabe: Benutzen Sie den euklidischen Algorithmus um den größten gemeinsamen Teiler
und das kleinste gemeinsame Vielfache der folgenden beiden Polynome uber ¨ C
auszurechnen: p(x) := x^4 + (1/3)x^3 - 3x^2 + 5x +2 und q(x) := 3x + 1

Problem/Ansatz:

… Ich komme auf x^4 + (1/3)x^3 - 3x^2 + 5x +2 und q(x) := 3x + 1, q(x) normiere ich, also x + 1/3

Dann rechnet man ja p(x)/q(x) und das ist: x^3 - 3x + 6, das R0, ist x+1/3 das ggT. Das kgV kann man berechnen mit (p(x) * ggT) / (q(x)) und das wäre hier p(x). Macht das Sinn? Die Formel für kgV, wurde uns gegeben.

Comments

Sowas kann wohl nicht gehen für beliebige komplexe Polynome.

Gemeint ist als Grundmenge wohl nur die Menge der komplexen Zahlen mit ganzzahligen Real- und Imaginärteilen.

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Aber wie dann, hier gibt es doch keine NS für komplexe Zahlen, oder übersehe ich da was?

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Ich denke nur, dass "Euklidischer Algorithmus" nur in einer Struktur Sinn macht, die auf der Arithmetik der ganzen Zahlen aufbaut.

Wolfram sagt:

https://www.wolframalpha.com/input?i=factor%28x%5E4+%2B+%281%2F3%29x%5E3+-+3x%5E2+%2B+5x+%2B2%29

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Und das heißt genau?

Ich mein Ergebnis falsch, oder ist die Anwendung richtig

Answer 1

Den euklidischen Algorithmus in dem euklidischen Ring \(R=\mathbb{C}[x]\)

hier anzuwenden ist wohl eher ein bisschen überkandidelt.

Da \(q(-1/3)=0\) ist, aber \(q(-1/3)\neq 0\) ist, und \(q\)

ein Primelement in \(R\) ist, sind \(p\) und \(q\) teilerfremd,

also ggT\((p,q)\sim 1\), und damit kgV\((p,q)\sim p\cdot q\).

Das ist falsch. Siehe meinen Kommentar !!! Sorry !!!

Comments

aber warum ist ggT(p,q)=1. Wenn man p/q rechnet erhält man eine Polynom ohne Rest, das heißt doch q ist ggT?

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Oh, Asche auf mein Haupt. Du hast natürlich Recht.

Der ggT ist \(\sim q(x)\).

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Okay, vielen Dank. Dann wahr der Ansatz ja richtig und habe die Aufgabe somit verstanden, dankeschön.