Kann dieses Polynom eine Quadratzahl sein?

Question

Begründe, dass es keine positive Zahl x geben kann, sodass x⁴+x³+x² eine Quadratzahl ist.

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Begründe, dass es keine positive Zahl x geben kann, sodass x^4+x^3+x^2 eine Quadratzahl ist.

Das ist offensichtlich falsch.

Betrachte \( f_n : \mathbb R \to \mathbb R, x\mapsto x^4+x^3+x^2-n^2 \) für \( n \in \mathbb N \) beliebig.

Dann ist \(f_n\) stetig, \( f_n(0) = -n^2 < 0 \) und \( f_n(x)\stackrel{x\to\infty}{\longrightarrow}\infty \). Somit existiert nach dem Zwischenwertsatz ein \( x>0 \) mit

$$ x^4+x^3+x^2 = n^2$$

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Was ist mit n = 0?

Ohnehin: Unter einen Quadratzahl verstehe ich, dass x natürlich sein muss. Oder von mir aus auch ganz (was oben ja eingeschränkt wurde)?!

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Unter einen Quadratzahl verstehe ich, dass x natürlich sein muss.

Warum muss das x natürlich sein?

Gefordert ist nur, dass

\( x^4+x^3+x^2 \)

eine Quadratzahl (also von der Form n² mit n∈ℕ) und x positiv ist.

Was ist mit n = 0?

Bei mir ist 0 nicht in ℕ .

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@MatHaeMatician: In meiner Aufgabe geht es ausschließlich um positive Zahlen. Der mathematische Begriff 'Quadratzahl' beschreibt nicht das Quadrat irgendeiner reellen Zahl, sondern eine Teilmenge der natürlichen Zahlen.

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x^4+x^3+x^2 kann aber sehr wohl eine Quadratzahl (=Quadrat einer natürlichen Zahl) sein, ohne dass x eine ganze positive Zahl sein muss.

Wenn du die Einschränkung auf ganze positive Zahlen möchtest, solltest du sie auch explizit fordern.

√2, 5/7 und π sind immerhin auch positive Zahlen.

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Jetzt wird es spitzfindig. Alle Leser meiner Aufgabe, die sich hier geäußert haben, mit Ausnahme von MatHaeMatician, haben verstanden, was gemeint war.

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Alle Leser meiner Aufgabe, die sich hier geäußert haben, mit Ausnahme von MatHaeMatician, haben verstanden, was gemeint war.

Ändere den Aufgabentext doch einfach nach:

... dass es keine natürliche Zahl \(x\) geben kann ...

dann wird auch MatHaeMatician zufrieden sein. ;-)

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Werner, du hast natürlich recht.

Answer 1

Hallo Roland,

Wenn \(x^4+x^3+x^2\) mit \(x\in \mathbb{N}\) eine Quadratzahl sein soll, so muss offensichtlich gelten:$$x^4+x^3+x^2 = x^2(x^2+x+1) =a^2 \quad a \in \mathbb{N}$$daraus folgt, dass \(x\mid a\) und es existiert ein \(n\) mit$$n \cdot x = a \quad n \in \mathbb{N}\\\implies x^2+x+1 =n^2 $$offensichtlich gilt \(n \gt x\). Man substituiert $$\begin{aligned}n&=x+d && d \in \mathbb{N} \\ x^2+x+1 &= (x+d)^2\\ x^2+x+1 &= x^2 +2xd +d^2 \\ x(1-2d) &= d^2-1\end{aligned}$$Der Term \((1-2d)\) muss kleiner als 0 sein, die linke Seite der Gleichung ist dann negativ, aber der Term \((d^2-1)\) ist mindestens \(0\) oder größer. Folglich ist dies ein Widerspruch zu der Annahme, dass \(x,\,n,\,d\in\mathbb{N}\) sind.

Gruß Werner

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Welcher Schüler würde so ein Problem lösen können? Wieviel % schätzt du, Werner?

Ab welcher Klasse kann man das erwarten?

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Das kann man heute in keiner Klasse erwarten. Heute dürfen nur Aufgaben gestellt werden, die eine realistische Anwendung in der Lebenswelt haben. Im letzten Jahrtausend hatten manche Neuntklässler'/*innen das lösen können.

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Welcher Schüler würde so ein Problem lösen können? Wieviel % schätzt du, Werner?

Das weiß ich nicht. Wenn ich mal von meiner eigenen Schulzeit ausgehe, dann könnten das vielleicht 1 oder 2 Schüler pro Klasse in der Mittelstufe des Gymnasiums sein, wenn sie es wirklich ganz ohne Hilfe machen sollen. Also vielleicht 2-5%.

Man muss natürlich in Algebra geübt sein; d.h. binomische Formeln und quadratische Gleichung sollte so sitzen, dass man nicht mehr drüber nachdenken muss.

Man kann sicher voraussetzen, dass viele das Problem auf \(x^2+x+1=n^2\) reduzieren können. Wenn ich Lehrer wäre, dann würde ich den Schülern aber einen Tipp geben. Z.B. so:

Stellt eine Tabelle auf mit dem Term \(x^2+x+1\) und daneben die nächst kleinere Quadratzahl - also so:$$\begin{array}{r|rr}x& x^2+x+1& n'^2\\\hline 1& 3& 1\\ 2& 7& 4\\ 3& 13& 9\\ 4& 21& 16\\ 5& 31& 25\\ 6& 43& 36\\ 7& 57& 49\\ 8& 73& 64\\ 9& 91& 81\\ 10& 111& 100\end{array}$$Was fällt Euch auf?

Vielleicht schaffen es dann 20%. Ein bißchen Spaß an Rechnen und Knobeln vorausgesetzt. Und mehr als Mittelstufen-Niveau ist nicht notwendg.

Answer 2

Hi,

vllt etwas weniger mathematisch als von Mat.

\(a = x^4+x^3 + x^2 = x^2(x^2+x+1)\)

Somit muss gelten \(x^2 = x^2 + x + 1\), was nur für \(x = -1\) passt, welches nicht positiv ist.

Grüße

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Das widerspricht aber der obigen Antwort.

Somit muss gelten \(x^2 = x^2 + x + 1\)

Muss es?

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Meine Frage ist bisher unbeantwortet geblieben.

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Ich war vorher etwas schnell und habe auch die Lösung a = x = 0 vergessen (die ebenfalls nicht positiv ist). Man sollte vielleicht auch etwas allgemeiner ran.

@Roland: Inwiefern? Ich sehe eine Antwort. Es stellt sich vielleicht die Frage ob sie richtig oder falsch ist...oder brauchst Du einen Antwortsatz?

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Ich empfehle die Lektüre von Werners Antwort.