Beweis: Zeigen das die Summe zweier quadrierter ungerader Zahlen keine Quadratzahl sein kann

Question

Aufgabe:

Sind x und y ungerade Zahlen so kann x²+y² keine Quadratzahl sein.

Problem/Ansatz:

Heyho,

Ich sitze zurzeit an dieser Aufgabe dran und hab folgenden Ansatz in Richtung Kontrapositionsbeweis gemacht:

x²+y²∈ ℕ => 2|x ∧ 2|y

Von hier an weiß ich leider nicht wie ich das ganze weiter angehen soll.

Answer 1

Dein Ansatz ist Unfug, wein 3²+4² eine natürliche Zahl ergibt, aber nicht beide Zahlen (3 und 4) gerade sind.

Wesentliche für deinen Beweis wird sein, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl grundsätzlich immer den Rest 1 bei Teilung durch 4 lässt..

Comments

Ja hab ich gerade auch bemerkt das das mit dem Element aus den Natürlichen Zahlen nicht passt. Wie geh ich das am besten dann an?

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Wesentliche für deinen Beweis wird sein, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl grundsätzlich immer den Rest 1 bei Teilung durch 4 lässt.

...was natürlich für beide ungeraden Quadrate gilt. Welche Konsequenzen hat das für die Summe?

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… dass sie bei der Division durch 4 den Rest 2 lässt, also zumindest gerade ist. Das ist nichts Neues. Und weiter?

Answer 2

… dass sie bei der Division durch 4 den Rest 2 lässt, also zumindest gerade ist. Das ist nichts Neues. Und weiter?

Ja - und das ist doch schopn die Lösung! Eine Zahl, die zwar durch 2 aber nicht durch 4 teilbar ist (gibt ja den Rest 2) kann keine Quadratzahl sein!

Jede Quadratzahl weist - in Primfaktoren zerlegt - nur gerade Exponenten der Primfaktoren auf. Und der Exponent der 2 wäre =1 und damit ungerade. Ein Beispiel: $$18^2 = 324 = 2^2 \cdot 3^4$$ aber $$7^2 + 23^2 = 578 = 2^1 \cdot 17^2 $$Siehe dazu auch: pythagoreische Tripel. Hier muss mindestens eine der beiden Katheten (bzw. \(x\) und \(y\)) gerade sein.