$$\text{ Sei } ß:V_{2n}(K)\times V_{2n}(K) \rightarrow K \text{ die standard symplektische Form } (v,w) \rightarrow v^tJ_nw \text{ mit } J_n = \begin{pmatrix} 0_n & 1_n \\ -1_n & 0_n \end{pmatrix}.$$
$$ \text{ Sei A} \in GL_{2n}(K) \text{ symplektisch und sei A zusätzlich diagonalisierbar über } \mathbb R, \text{ sodass }V_{2n}(K) =\bigoplus_{\lambda}H_{\lambda},$$
$$ \text{ wobei } H_{\lambda} =E_f(\lambda) \text{ und die Summe über alle Eigenwerte } \lambda \in K \text{ von A laufe. Dann gilt:}$$
$$a) ß(H_{\lambda},H_{\mu})= 0, \text{ falls } \lambda \times \mu \neq 1 \text{ für } \lambda, \mu \in K. \text{ Hinweis: Berechnen Sie ß(av,aw) für } v\in H_{\lambda} \text{ und } w \in H_{\mu}$$
$$b) \text{ Für } \lambda \neq \pm 1 \text{ ist die Einschränkung } ß\mid_{({H_{\lambda}\bigoplus} H_{\lambda^{}-1})\times (H_{\lambda} \bigoplus H_{ \lambda^{-1}})} \text{ nicht-geartet symplektisch.}$$
$$c) \text{ Die Einschränkungen } ß\mid_{H_1\times H_1} \text{ und } ß\mid_{H_{-1}\times H_{-1}} \text{ sind nicht-ausgeartet symplektisch}$$
Wie gehe ich an so eine Aufgabe heran? Bzw. inwiefern hilft mit der Hinweis bei a) weiter?
