$$\text{ Sei K ein beliebiger Körper. Sei } n \ in \mathbb N \text{ und } J_n \in GL_{2n}(K)) \text{ die Matrix } J_n= \begin{pmatrix} 0_n & 1_n \\ -1_n & 0_n \end{pmatrix} \text{. }$$
$$\text{Sei (V,ß) ein symplektischer K-Vektorraum der Dimension 2n. Eine Basis } \underline B =(b_a,...,b_n,c_1,...,c_n) \text{ von V heißt }$$
$$\text{ symplektische Basis (zu (V,ß)) genau dann, wenn } Mat_{\underline B}(ß) = J_n \text{ gilt.}$$
$$\text{ Sei } v \in V\{{0}\}. \text{ Zeigen Sie, dass es eine symplektische Basis mit } b_1 = v \text{ gibt. }$$
$$\text{ Folgern Sie, dass für jedes } v\in V \text{ die Abbildung } T_v:V\rightarrow V, w\rightarrow w+ß(w,v)\cdot v \text{ die Determinante 1 hat.}$$
Ich weiß nicht so genau, wie ich an die Aufgabe herangehen soll... Hat vielleicht jemand einen Tipp/Ansatz?
