Aufgabe:
Sei \( K \) ein Körper und \( n \in \mathbb{N} \), sei \( V \) ein \( n \)-dimensionaler \( K \)-Vektorraum und \( f \in \operatorname{End}_{K}(V) \). Bezüglich einer geeigneten Basis von \( V \) besitze die darstellende Matrix von \( f \) die Gestalt \( \left(a_{i j}\right)_{i j} \) mit \( a_{11}=\ldots=a_{n n}=\lambda \) für ein \( \lambda \in K \), mit \( a_{12}=\ldots=a_{n-1, n}=1 \) und mit \( a_{i j}=0 \) für alle weiteren Paare \( (i j) \). Zeigen Sie: \( V \) ist \( f \)-unzerlegbar.
Hinweis: Eine (hypothetische) \( f \)-invariante Zerlegung von \( V \) führte zu einer Zerlegung von \( \chi_{f} \). Was liesse sich über die Faktoren sagen?
Problem/Ansatz:
Trotz der Voraussetzung das K nicht algebraisch abgeschlossen sein muss, zerfällt das Charakteristische Polynom nun in Linearfaktoren \(\left(\lambda - X \right)^{dim(V)} = \mu_f\left(X\right)\). Außerdem ist \(dim(V_{\lambda}) = 1\)
Diesen Satz haben wir in der Vorlesung:
Sei \( K \) algebraisch abgeschlossen. Ist \( V \)-unzerlegbar, so existiert ein \( \lambda \in K \) mit
- \( \pm \chi_{f}(X)=\mu_{f}(X)=(X-\lambda)^{\operatorname{dim}(V)} \)
- \( \operatorname{dim}\left(V_{\lambda}\right)=1 \)
- Bezüglich einer geeigneten Basis von \( V \) wird \( f \) durch die Matrix
\( \left(\begin{array}{cccc}\lambda & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda\end{array}\right) \)
Kann ich nun daraus schliessen das \(V f\)-unzerlegbar ist?
