Bestimme die Jordan-Normalform von A.

Question

Aufgabe:

Bestimme die Jordan-Normalform von A.

\( A= \begin{pmatrix} -1&1&0&0 \\ -9&5&0&0 \\ -6&2&2&0 \\ -3&1&0&2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Das charakteristische Polynom von A ist \( X(A) = (x-2)^4 \)

D.h. Eigenwert \( x=2 \).

Für die Dimension des Eigenraums habe ich raus:

dim\( (A-2E_4) = 3 \)

Der Nilpotenzindex k beträgt 2.

Laut Skript ist die Anzahl der Jordan-Kästchen durch die Summe der Eigenräume gegeben. Das wäre hier ja 3 (oder?).

die Länge der Kästchen ist gegeben durch dim(ker( \(A-2E_4)^j) \)

Brauche ich noch den Kern von \( (A-2E_4)^2 \) ? Weil das wären ja alle Vekoren aus \( \mathbb R^4 \), da k=2.

Woher weiß ich jetzt, wie viele Kästchen ich mit welcher Länge habe? 3 Kästchen mit jeweils der Länge 2 geht ja nicht, da die Matrix dafür zu klein ist… oder übersehe ich etwas?

Danke euch für die Hilfe!

Answer 1

Hm,

siehe https://www.geogebra.org/m/cbrraju7

insbesondere "Kochen mit Jordan"

Dim ER =3 sagt, dass Du 3 Eigenvektoren findest.

anpassung zu Aufgabe, wenn Du damit rechnen willst:

(3) A:={{-1,1,0,0},{-9,5,0,0},{-6,2,2,0},{-3,1,0,2}}

(16) HVi:=1;

2.Stufe entfällt!

(36) T:=Transpose({ spalte(HV12, hv1), spalte(HV1Kandidaten, hv1),Element(EVi,2),Element(EVi,3)})

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\3&1&0&0\\2&0&1&0\\1&0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\\\end{array}\right) \right\} \)