Matrixexponential und Jordan-Normalform

Question

Aufgabe:

Ich habe Probleme mit folgenden Teilaufgaben:

(c) Zeigen Sie: Es gibt \( A, B \in \mathbb{K}^{n \times n} \) mit \( \exp (A+B) \neq \exp (A) \exp (B) \).
(d) Berechnen Sie \( \exp (J(\lambda, 4)) \) für \( \lambda \in \mathbb{K} \).

Teilaufgaben (a) und (b) habe ich hinbekommen, dort sollte man zeigen dass \( \exp (A+B) = \exp (A) \exp (B) \) wenn AB=BA und das Matrixexponential einer diagonalisierten Matrix berechnen.

Problem/Ansatz:

Bei der (c) könnte man ja einfach einen Beweis durch Widerspruch führen, indem man ein Gegenbeispiel findet. Allerdings finde ich keins... oder zumindest keins, was einfach zu zeigen ist. Da die Teilaufgabe nur relativ wenige Punkte gibt, denke ich, dass ich vielleicht etwas offensichtliches übersehe?

Bei (d) habe ich leider keine Idee, wie man vorgeht.

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen. LG :-)

Comments

Tipp zu (d): Zerlege \(J(\lambda,4)\) in die Summe einer Diagonalmatrix und einer nilpotenten Matrix:
\(J(\lambda,4)=\begin{pmatrix}\lambda&1&0&0\\0&\lambda&1&0\\0&0&\lambda&1\\0&0&0&\lambda\end{pmatrix}=\lambda I_4+\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\),
und wende darauf Teilaufgaben (a) und (b) an.

Answer 1

Zu c): Laut der Aufgabe davor, gilt die Gleichung, wenn die Matrizen kommutieren. Also suche zwei Matrizen, die nicht kommutieren und zeige dann, dass die Gleichung nicht gilt. Hier ist es hilfreich, nilpotente Matrizen zu nehmen, da sich damit das Matrixexponential leicht berechnen lässt, die die Reihenentwicklung abbricht.

Zu d): Für Matrizen in Jordanform bzw. einen Jordanblock gilt \(\mathrm{e}^{J(\lambda,4)}=\mathrm{e}^{\lambda E}\mathrm{e}^{N}\), da man jeden Jordanblock in ein Vielfaches der Einheitsmatrix und eine nilpotente Matrix zerlegen kann, also \(J(\lambda, 4)=\lambda E+N\) mit \(N\) nilpotent. Da jede Matrix aber mit der Einheitsmatrix kommutiert, gilt \(\mathrm{e}^{\lambda E+N}=\mathrm{e}^{\lambda E}\mathrm{e}^{N}\).