Aufgabe:
…Hallo,
Für Aufgabe 2 und 3 sind meine Lösungen hochgeladen. Der Tutor meinte nun, dass man angeben soll welche spezielle Eigenschaft der Funktion hier verwendet wird. Kann mir jemand da helfen? Würde mich riesig freuen
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2. Aufgabe: Bilder des Einheitskreises
Beschreiben oder zeichnen Sie das Bild (wo wohldefiniert) des Einheitskreises
\( \mathbb{S}=\{z \in \mathbb{C}|| z \mid=1\} \)
unter der folgenden Abbildungen:
a) \( f(z)=\frac{1}{z} \)
b) \( g(z)=\frac{1}{z-1} \)
c) \( h(z)=\frac{1}{z-2} \)
3. Aufgabe: Konforme Abbildungen
Sei \( H S=\{z \in \mathbb{C}|| z \mid<1, \operatorname{Im}(z)>0\} \) die obene Halbkreisscheibe.
a) Beschreiben oder zeichnen Sie das Bild von \( H S \) unter der Abbildung \( f(z)=\frac{1}{z+1} \).
b) Bestimmen Sie eine konforme Abbildung, die \( H S \) auf \( K_{1}=\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}(z)<0, \operatorname{Re}(z)>0\} \) abbildet.
c) Bestimmen Sie eine konforme Abbildung, die \( H S \) auf \( K_{2}=\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}(z)>0, \operatorname{Re}(z)>0\} \) abbildet.
d) Bestimmen Sie eine konforme Abbildung, die \( H S \) auf \( H=\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}(z)>0\} \) abbildet.
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23:00
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\( \Leftarrow \)
[8
\( \uparrow \)
O
\( \kappa \nearrow \)
\( K \searrow \)
0
2.
\( \begin{array}{l} \text { a) }(1,0),(0,1),(-1,0) \\ f(1)=1 \quad, f(i)-\frac{1}{i}=\frac{1}{i} \frac{i}{i} \\ =\frac{i}{i^{2}}=-i \\ f(-1)=-1, f(-i)=i \\ \end{array} \)
\( (i-1)(i+1)=i^{2}+i-i-1 \)
b) \( g(z)=\frac{1}{z-1}, g(1)=\infty \quad g(i)=\frac{1}{i-1}=\frac{-i-1}{2}=-\frac{1+i}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{i}{2} \)
\( \begin{aligned} & (-i-1)(i-1) \\ = & -i^{2}+i+1=2 \end{aligned} \)
c)
\( \text { c) } \begin{array}{l} h(z)=\frac{1}{z-2}, h(1)=-1, h(i)=\frac{1}{i-2}=\frac{-i-2}{5} \\ h(-1)=\frac{1}{-3}, h(-i)=\frac{1}{-i-2}=\frac{i-2}{5} \end{array} \)
\( \begin{aligned} & (-i-1)(i-1) \\ = & -i^{2}+i+1=2 \end{aligned} \)
\( \begin{array}{l} (i-2)(-i-2) \\ = i^{2}-2 i+2 i+4 \\ =+1+4=3 * 5 \\ (-i-2)(i-2) \\ =-i^{2}+2 i-2 x+4-5 \end{array} \)
\( =-i^{2}+x i-2 x+4-5 \)
Э.
a) \( H S=\{z \in \mathbb{C}|| z \mid<1, \operatorname{Jm}(z)>0\} \), obere \( H S \)
\( f(z)=\frac{1}{z+1} \)
\( \begin{aligned} & 1 f(1)=\frac{1}{2}, f(i)=\frac{1}{i+1}=\frac{(1-i)}{2}-\frac{1}{2}-\frac{i}{2} \\ f(-1)= & \frac{1}{0}=\infty \end{aligned} \)
b) \( u_{1}=\left\{z \in\left[\mid J_{m}(z)<0, R e(z)>0\right\}\right. \)
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23:00
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b) \( r_{1}=\{z \in[\mid \operatorname{Jm}(z)<0, \operatorname{Re}(z)>0\} \)
\( \frac{\left(w-w_{1}\right)\left(w_{2}-w_{3}\right)}{\left(w-w_{3}\right)\left(w_{2}-w_{1}\right)}=\frac{\left(z-z_{1}\right)\left(z_{2}-z_{3}\right)}{\left(z-z_{3}\right)\left(z_{2}-z_{1}\right.} \)
\begin{tabular}{l|l}
\( z_{i} \) & \( -1 i 1 \) \\
\hline\( w_{i} \) & \( 01 \infty \)
\end{tabular}
\( f_{1}(z)=f(z)+1=\frac{2+i}{2-i} \cdot \frac{z+2}{z-2}+1 \)
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\( 23: 13 \)
N な
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\( f_{1}(z)=f(z)+1=\frac{2+i}{2-i} \cdot \frac{z+2}{z-2}+1 \)
c)
c)
\( \begin{array}{l} f_{3}(z)=\sqrt{f(z)} \quad, f(z) \\ f(z)=\left(\frac{2+i}{2-1} \cdot \frac{z+2}{z-2}\right) \\ \frac{\left(w-w_{1}\right)\left(w_{2}-w_{3}\right)}{\left(\omega-w_{3}\right)\left(w_{2}-\omega_{1}\right)}=\frac{\left(z-z_{1}\right)\left(z_{2}-z_{3}\right)}{\left(z-z_{3}\right)\left(z_{2}-z_{1}\right)} \end{array} \)
\( f(z)=\frac{(z+2)(i+2)}{(z-2)(i-2)} \)
\( \Rightarrow q(z)=\sqrt{\frac{(z+2)(i+2)}{(z-2)(i-2}} \)
d)
\( f(z)=\frac{(z+2)(i+2)}{(z-2)(i-2)} \)
Lg
