Welche Eigenschaft der Vektoren lässt sich damit nachweisen?

Question

Aufgabe:

Prüfen Sie, ob der Vektor x=(1/-1/3) als Linearkombination: x=r*a+s*b der Vektoren a=(-2/4/6) und b=(-3/0/9) darstellbar ist.

Welche Eigenschaft der Vektoren lässt sich damit nachweisen?

Problem/Ansatz:

Also ich hab mir erst einmal ein LGS erstellt:

I: 1=-2r-3s

II: -1=4r → r=-1/4

III: 3=6r+9s

II in I: 1=-2*-1/4-3s → s=-1/6

Und dann Kontrolle in III: 3=6*-1/4-1/6*9 da kommt -3 raus, also die Linearkombination wird nicht erfüllt oder?

Was lässt sich darüber nun über den Vektor Aussagen?

Dankeschön in voraus

Answer 1

r·[-2, 4, 6] + s·[-3, 0, 9] = [1, -1, 3] → keine Lösung

Der Vektor x lässt sich also nicht durch Linearkombination der beiden anderen Vektoren a und b darstellen.

Die Vektoren sind hier also nicht komplanar.

Answer 2

Aloha :)

Wenn der Vektor \(\vec x=(1|-1|3)^T\) als Linearkombination von \(\vec a=(-2|4|6)^T\) und \(\vec b=(-3|0|9)^T\) darstellbar ist, liegt der Punkt \(X\) in der von \(\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannten Ebene.

Wir prüfen das nach:$$\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\stackrel{?}{=}r\begin{pmatrix}-2\\4\\6\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-3\\0\\9\end{pmatrix}$$

Aus der Gleichung für die 2-te Komponente folgt sofort \((r=-\frac14)\).

Dann lautet die Gleichung für die 3-te Komponente \(\left(3=-\frac32+9s\right)\), sodass \((s=\frac12)\) folgt.

Allerdings ist für diese Werte die Gleichung für die 1-te Komponente \(\left(1\stackrel{?}{=}\frac12-\frac32\right)\) nicht erfüllt.

Der Vektor \(\vec x\) ist also nicht als Linerakombination der Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) darstellbar. Das heißt, der Punkt \(X\) liegt außerhalb der von \(\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannten Ebene.