Eigenschaft des Sinus nachweisen

Question

Aufgabe:

Um eine Eigenschaft des Sinus nachzuweisen, soll ich im Vorfeld folgende Nebenrechnung beweisen:

∀x∈ (0,1) ∀n∈ℕ : \( \frac{x^{4·n}}{(4n+1)!} \)  - \( \frac{x^{4·n-2}}{(4n-1)!} \)  < 0

Wie mache ich das? ^^ Danke für die Hilfe

Answer 1

\( \dfrac{x^{4·n}}{(4n+1)!} - \dfrac{x^{4·n-2}}{(4n-1)!}<0 \)

\( \dfrac{x^{4n}}{(4n-1)!}\cdot\left(\dfrac{1}{4n\cdot(4n+1)} - \dfrac{1}{x^2}\right)<0 \) 

Der Bruch vor der Klammer ist für 0<x<1 immer positiv.

\(\dfrac{1}{4n\cdot(4n+1)} - \dfrac{1}{x^2}<0 \)

\(x^2-4n\cdot(4n+1)<0\)

\(x^2<4n\cdot(4n+1)\)

Da x²<1 und 4n(4n+1)>1 gilt, ist die Behauptung richtig.

:-)

Answer 2

Hallo

du formst a-b<0 in a<b um dann da b≠0 a/b<1  oder b/a>1 ist nicht schwer.

Gruß lul